Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 589

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 589

Найти пределlim⁡x→+∞x(π2−arcsin⁡xx2+1)\lim_{x\to+\infty}
x\left(\frac\pi2-
\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)
Ответ:11

Решение

Идея

При x>0x>0 угол arctg⁡x\operatorname{arctg} x принадлежит интервалу
(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right). Поэтому с учётом главных ветвей

Проверка

sin⁡(arctg⁡x)=xx2+1,arcsin⁡xx2+1=arctg⁡x,π2−arctg⁡x=arctg⁡1x\begin{aligned}
\sin(\operatorname{arctg} x)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},
\\
\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}&=\operatorname{arctg} x,
\qquad
\frac\pi2-\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg}\frac1x
\end{aligned}Следовательно,x(π2−arcsin⁡xx2+1)=xarctg⁡1x=arctg⁡1x1x⟶1x\left(\frac\pi2-
\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)
=x\operatorname{arctg}\frac1x
=\frac{\operatorname{arctg}\dfrac1x}{\dfrac1x}\longrightarrow1
Демидович № 589 — решение и ответ