Демидович — задача 608

1. 1

   Пункт а)

   Обозначим$$L=\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]$$Сначала считаем $L$ конечным. Выберем число $c>a$. Для каждого
   достаточно большого $x$ единственным образом запишем$$x=c+n+t,$$
   \qquad
   n\in\mathbb N,
   \qquad
   0\leqslant t<1Тогда после телескопического сложения получаем$$\begin{aligned}$$
   f(c+n+t)&=f(c+t)+{}\\
   &\quad+[f(c+t+1)-f(c+t)]+\cdots+{}\\
   &\quad+[f(c+t+n)-f(c+t+n-1)]
   \end{aligned}Функция $f$ ограничена на конечном промежутке $[c,c+1]$, поэтому
   $f(c+t)/x\to0$ равномерно по $0\leqslant t<1$
2. 2
   Для любого $\varepsilon>0$ все достаточно далёкие разности в сумме
   заключены между $L-\varepsilon$ и $L+\varepsilon$. Все конечные
   начальные разности равномерно ограничены по $t$, поскольку их аргументы
   лежат в одном фиксированном конечном промежутке. Поэтому после деления на
   $x$ их вклад стремится к нулю, а $n/x\to1$. Следовательно,$$L-\varepsilon$$
   \leqslant
   \liminf_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x
   \leqslant
   \limsup_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x
   \leqslant
   L+\varepsilonТак как $\varepsilon$ произвольно, искомый предел равен $L$. Для
   $L=+\infty$ или $L=-\infty$ то же телескопическое сложение применяют
   к неравенствам $f(u+1)-f(u)>M$ или $f(u+1)-f(u)<-M$
3. 3

   Пункт б)

   Положим$$q=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}$$Условие $f(x)\geqslant C>0$ позволяет рассмотреть функцию$$g(x)=\ln f(x)$$Если $0<q<+\infty$, то$$g(x+1)-g(x)$$
   =\ln\frac{f(x+1)}{f(x)}
   \longrightarrow\ln qПо доказанной части а)$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln f(x)}x=\ln q$$После возведения числа $e$ в степень получаем$$\lim_{x\to+\infty}[f(x)]^{\frac1x}$$
   =\lim_{x\to+\infty}
   \exp\left(\frac{\ln f(x)}x\right)=qПредел $q=0$ невозможен: тогда для больших $x$ было бы
   $f(x+1)\leqslant\frac12f(x)$, и последовательное применение этого
   неравенства противоречило бы условию $f(x)\geqslant C$. Если
   $q=+\infty$, то разности $g(x+1)-g(x)$ стремятся к $+\infty$,
   поэтому по части а) $g(x)/x\to+\infty$ и корень также стремится к
   $+\infty$

Что и требовалось доказать