Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 599

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что:

\begin{aligned} \text{а) }&2^x\longrightarrow1-0, &&\text{при }x\to0^- \\ \text{б) }&2^x\longrightarrow1+0, &&\text{при }x\to0^+ \end{aligned}

Доказано:

2^x\longrightarrow1-0, \quad\text{при }x\to0^-

2^x\longrightarrow1+0, \quad\text{при }x\to0^+

Доказательство

Идея

Представим функцию в виде

2^x=e^{x\ln2}

По непрерывности экспоненты при

x\to0

имеем

2^x\to1

1
Пункт а)
Если $x<0$ , то $x\ln2<0$ , поэтому $0<2^x<1$ Значит, при $x\to0^-$ функция приближается к $1$ снизу.
2
Пункт б)
Если $x>0$ , то $x\ln2>0$ , поэтому $2^x>1$ Значит, при $x\to0^+$ функция приближается к $1$ сверху.

Что и требовалось доказать