Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 599

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что:

\begin{aligned} \text{а) }&2^x\longrightarrow1-0, &&\text{при }x\to0^- \\ \text{б) }&2^x\longrightarrow1+0, &&\text{при }x\to0^+ \end{aligned}

Доказано:а)

2^x\longrightarrow1-0, \quad\text{при }x\to0^-

б)

2^x\longrightarrow1+0, \quad\text{при }x\to0^+

Доказательство

По №541 имеем

(2^x-1)/x\to\ln2

при

x\to0

. Поэтому

2^x-1=x\frac{2^x-1}{x}\longrightarrow0\cdot\ln2=0,

то есть

2^x\to1

. Остаётся определить сторону приближения.

Если

x<0

, то

x\ln2<0

, поэтому

0<2^x<1

Значит, при

x\to0^-

функция приближается к

1

снизу.

Если

x>0

, то

x\ln2>0

, поэтому

2^x>1

Значит, при

x\to0^+

функция приближается к

1

сверху.

Что и требовалось доказать