Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 593

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\begin{aligned} \text{а) }& \lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) \\ \text{б) }& \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) \end{aligned}

Ответ:

-1

1

Решение

Идея

Рационализируем разность:

\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2} =\frac{2x} {\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}

1
Разделим числитель и знаменатель на $|x|$ : $\frac{2x} {\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}} = \frac{2\dfrac{x}{|x|}} {\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}} +\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}}$ Знаменатель справа стремится к $2$ .
2
Пункт а)
При $x\to-\infty$ имеем $\frac{x}{|x|}=-1$ , поэтому
предел равен $-1$ .
3
Пункт б)
При $x\to+\infty$ имеем $\frac{x}{|x|}=1$ , поэтому
предел равен $1$ .