Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 593

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 593

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞(1+x+x2−1−x+x2)б) lim⁡x→+∞(1+x+x2−1−x+x2)\begin{aligned}
\text{а) }&
\lim_{x\to-\infty}
\left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right)
\\
\text{б) }&
\lim_{x\to+\infty}
\left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right)
\end{aligned}
Ответ:а) −1-1б) 11

Решение

Рационализируем разность:1+x+x2−1−x+x2=2xx2+x+1+x2−x+1\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}
=\frac{2x}
{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}
Разделим числитель и знаменатель на ∣x∣|x|:2xx2+x+1+x2−x+1=2x∣x∣1+1x+1x2+1−1x+1x2\frac{2x}
{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}
=
\frac{2\dfrac{x}{|x|}}
{\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}
+\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}}Знаменатель справа стремится к 22.

Пункт а)

При x→−∞x\to-\infty имеем x∣x∣=−1\frac{x}{|x|}=-1, поэтому
предел равен −1-1.

Пункт б)

При x→+∞x\to+\infty имеем x∣x∣=1\frac{x}{|x|}=1, поэтому
предел равен 11.
Демидович № 593 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика