Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 600

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 600

Найти f(1)f(1), f(1−0)f(1-0), f(1+0)f(1+0), еслиf(x)=x+[x]2f(x)=x+[x]^2
Ответ:f(1)=2,f(1−0)=1,f(1+0)=2f(1)=2,
\qquad
f(1-0)=1,
\qquad
f(1+0)=2

Решение

Идея

Здесь [x][x] обозначает целую часть числа xx, то есть наибольшее
целое число, не превосходящее xx. В точке x=1x=1

Проверка

f(1)=1+[1]2=2f(1)=1+[1]^2=2Если x→1−x\to1^-, то в достаточно малой левой окрестности единицы
[x]=0[x]=0. Поэтомуf(1−0)=lim⁡x→1−(x+02)=1f(1-0)=\lim_{x\to1^-}(x+0^2)=1Если x→1+x\to1^+, то в достаточно малой правой окрестности единицы
[x]=1[x]=1. Следовательно,f(1+0)=lim⁡x→1+(x+12)=2f(1+0)=\lim_{x\to1^+}(x+1^2)=2
Демидович № 600 — решение и ответ