Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 615

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 615

Построить график функцииy=lim⁡n→∞xn−x−nxn+x−n,x≠0y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}},
\qquad x\neq0

Построение

Идея

Умножим числитель и знаменатель на xnx^n. Это допустимо при x≠0x\neq0:xn−x−nxn+x−n=x2n−1x2n+1\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}
=\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}Если ∣x∣<1|x|<1, то x2n→0x^{2n}\to0 и предел равен −1-1. Если ∣x∣>1|x|>1,
то после деления на x2nx^{2n} получаем1−x−2n1+x−2n→1\frac{1-x^{-2n}}{1+x^{-2n}}\to1При x=±1x=\pm1 дробь равна нулю. Следовательно,y={1,∣x∣>1,0,x=±1,−1,0<∣x∣<1y=
\begin{cases}
1, & |x|>1,\\
0, & x=\pm1,\\
-1, & 0<|x|<1
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    Точка x=0x=0 не входит в область определения. В
    точках x=±1x=\pm1 значение равно нулю, поэтому концы соседних
    горизонтальных участков там выколоты.график к задаче Демидовича № 615
Демидович № 615 — решение