Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 595

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 595

Найти пределы:а) lim⁡x→0+arctg⁡11−x;б) lim⁡x→1+arctg⁡11−x\text{а) }\lim_{x\to0^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to1^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x}
Ответ:π4\frac\pi4−π2-\frac\pi2

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    При x→0+x\to0^+ аргумент арктангенса стремится к 11.
    По непрерывности арктангенса предел равен
    arctg⁡1=π4\operatorname{arctg}1=\frac\pi4.

Проверка

б) Если x→1+x\to1^+, то 1−x→0−1-x\to0^-, поэтому
11−x→−∞\frac1{1-x}\to-\infty. Следовательно,lim⁡x→1+arctg⁡11−x=−π2\lim_{x\to1^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x}=-\frac\pi2
Демидович № 595 — решение и ответ