Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 595

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 595

Найти пределы:а) lim⁡x→0+arctg⁡11−x;б) lim⁡x→1+arctg⁡11−x\text{а) }\lim_{x\to0^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to1^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x}
Ответ:а) π4\frac\pi4б) −π2-\frac\pi2

Решение

Пункт а). Для 0<x<10<x<1 положим u=1/(1−x)>1u=1/(1-x)>1. По формуле разности арктангенсовarctan⁡u−π4=arctan⁡u−11+u=arctan⁡x2−x.\arctan u-\frac\pi4=\arctan\frac{u-1}{1+u}
=\arctan\frac{x}{2-x}.При x→0+x\to0^+ дробь x/(2−x)→0x/(2-x)\to0. Из оценки ∣arctan⁡t∣⩽∣t∣|\arctan t|\leqslant|t|, установленной в №585, правая часть стремится к нулю. Ответ: π/4\pi/4.
Пункт б). При x→1+x\to1^+ имеем 1−x→0−1-x\to0^-, поэтому 1/(1−x)→−∞1/(1-x)\to-\infty. В №583 показано, что при таком аргументе арктангенс стремится к −π/2-\pi/2.
Демидович № 595 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика