Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 580

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\operatorname{ch}\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}\right)^{n^2}

Ответ:

e^{\pi^2}

Решение

Для

n\geqslant3

угол

\pi/n

лежит в

(0,\pi/2)

, поэтому основание положительно. Для предела достаточно рассмотреть именно этот хвост последовательности.

Обозначим степень через

A_n

и положим

t=\pi/n

. Тогда

t\to0

n^2=\pi^2/t^2

. Логарифмируем:

\ln A_n=\pi^2\left(\frac{\ln\operatorname{ch}t}{t^2}-\frac{\ln\cos t}{t^2}\right).

В №578в установлено, что первая дробь стремится к

1/2

, а в №526 — что вторая стремится к

-1/2

. Следовательно,

\ln A_n\longrightarrow\pi^2\left(\frac12-\left(-\frac12\right)\right)=\pi^2.

По переходу от логарифма к числу

A_n\to e^{\pi^2}