Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 580

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\operatorname{ch}\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}\right)^{n^2}

Ответ:

e^{\pi^2}

Решение

Проверка

Для

n\geqslant3

имеем

0<\frac\pi n<\frac\pi2, \qquad \cos\frac\pi n>0, \qquad \operatorname{ch}\frac\pi n>0

Поэтому основание положительно и выражение можно логарифмировать.
При

n=1

основание отрицательно, а при

n=2

выражение не
определено, однако конечное число начальных значений не влияет на
предел последовательности.
Обозначим его через

A_n

. При

n\to\infty

используем разложения

\ln\operatorname{ch} t=\frac{t^2}{2}+o(t^2), \qquad \ln\cos t=-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

Полагая

t=\frac\pi n

, получаем

\begin{aligned} \ln A_n &=n^2\left(\ln\operatorname{ch}\frac\pi n-\ln\cos\frac\pi n\right) = \\ &=n^2\left(\frac{\pi^2}{n^2} +o\left(\frac1{n^2}\right)\right) =\pi^2+o(1) \end{aligned}

Следовательно,

A_n\to e^{\pi^2}