Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 618

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 618

Построить график функцииy=lim⁡n→∞1+xn+(x22)nn,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n+\left(\frac{x^2}{2}\right)^n},
\qquad x\geqslant0

Построение

Идея

Для неотрицательных чисел a1,a2,a3a_1,a_2,a_3 справедливоmax⁡(a1,a2,a3)⩽a1n+a2n+a3nn⩽3nmax⁡(a1,a2,a3)\max(a_1,a_2,a_3)
\leqslant
\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+a_3^n}
\leqslant
\sqrt[n]{3}\max(a_1,a_2,a_3)Поскольку 3n→1\sqrt[n]{3}\to1, в данной задаче предел равенmax⁡(1,x,x22)\max\left(1,x,\frac{x^2}{2}\right)Сравним три выражения. При 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 наибольшим является
11. При 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2 наибольшим является xx. При
x⩾2x\geqslant2 имеем x2/2⩾xx^2/2\geqslant x. Поэтомуy={1,0⩽x⩽1,x,1<x⩽2,x22,x>2y=
\begin{cases}
1, & 0\leqslant x\leqslant1,\\
x, & 1<x\leqslant2,\\
\dfrac{x^2}{2}, & x>2
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    Все три участка соединяются непрерывно: в точках
    x=1x=1 и x=2x=2 соседние формулы дают одинаковые значения.график к задаче Демидовича № 618
Демидович № 618 — решение