Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 613

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 613

а) y=1−x100\text{а) } y=1-x^{100}б) y=lim⁡n→∞(1−x2n),−1⩽x⩽1\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\left(1-x^{2n}\right),
\qquad -1\leqslant x\leqslant 1

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Функция чётная, посколькуf(−x)=1−(−x)100=1−x100=f(x)f(-x)=1-(-x)^{100}=1-x^{100}=f(x)При x⩾0x\geqslant0 имеемf′(x)=−100x99⩽0f'(x)=-100x^{99}\leqslant0Так как f′(x)<0f'(x)<0 при x>0x>0, функция строго убывает на
    [0,+∞)[0,+\infty). По чётности она строго возрастает на (−∞,0](-\infty,0].
    Наибольшее значение равно 11 и достигается при x=0x=0. Нули функции
    находятся из равенства x100=1x^{100}=1, поэтомуx=−1,x=1x=-1,
    \qquad
    x=1    Кроме того,lim⁡x→±∞(1−x100)=−∞\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-x^{100}\right)=-\infty
  2. 2

    Построение графика

    График симметричен относительно оси OyOy, проходит
    через точки (−1,0)(-1,0), (0,1)(0,1), (1,0)(1,0) и вне отрезка [−1,1][-1,1] быстро
    уходит вниз. При любом x≠0x\neq0 имеем 1−x100<11-x^{100}<1. Горизонтальным
    участок только кажется из-за масштаба и очень большой степени; функция
    не является постоянной ни на одном промежутке.график к задаче Демидовича № 613
  3. 3

    Пункт б)

    Зафиксируем x∈[−1,1]x\in[-1,1]. Если ∣x∣<1|x|<1, тоlim⁡n→∞x2n=0\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0При x=±1x=\pm1 получаем x2n=1x^{2n}=1 для любого nn. Поэтому предельная
    функция имеет видy={1,−1<x<1,0,x=±1y=
    \begin{cases}
    1, & -1<x<1,\\
    0, & x=\pm1
    \end{cases}
  4. 4

    Построение графика

    На уровне y=1y=1 концы интервала выколоты, а значения
    в граничных точках равны нулю.график к задаче Демидовича № 613
Демидович № 613 — решение