Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 613

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 613

а) y=1−x100\text{а) } y=1-x^{100}б) y=lim⁡n→∞(1−x2n),−1⩽x⩽1\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\left(1-x^{2n}\right),
\qquad -1\leqslant x\leqslant 1

Построение

Пункт а)

Функция чётная, посколькуf(−x)=1−(−x)100=1−x100=f(x)f(-x)=1-(-x)^{100}=1-x^{100}=f(x)Если 0⩽a<b0\leqslant a<b, то a100<b100a^{100}<b^{100}, а потому 1−a100>1−b1001-a^{100}>1-b^{100}. Значит, функция строго убывает на [0,+∞)[0,+\infty); по чётности она строго возрастает на (−∞,0](-\infty,0].
Наибольшее значение равно 11 и достигается при x=0x=0. Нули функции
находятся из равенства x100=1x^{100}=1, поэтомуx=−1,x=1x=-1,
\qquad
x=1Кроме того,lim⁡x→±∞(1−x100)=−∞\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-x^{100}\right)=-\infty

Построение графика

График симметричен относительно оси OyOy, проходит
через точки (−1,0)(-1,0), (0,1)(0,1), (1,0)(1,0) и вне отрезка [−1,1][-1,1] быстро
уходит вниз. При любом x≠0x\neq0 имеем 1−x100<11-x^{100}<1. Горизонтальным
участок только кажется из-за масштаба и очень большой степени; функция
не является постоянной ни на одном промежутке.график к задаче Демидовича № 613

Пункт б)

Зафиксируем x∈[−1,1]x\in[-1,1]. Если ∣x∣<1|x|<1, тоlim⁡n→∞x2n=0\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0При x=±1x=\pm1 получаем x2n=1x^{2n}=1 для любого nn. Поэтому предельная
функция имеет видy={1,−1<x<1,0,x=±1y=
\begin{cases}
1, & -1<x<1,\\
0, & x=\pm1
\end{cases}

Построение графика

На уровне y=1y=1 концы интервала выколоты, а значения
в граничных точках равны нулю.график к задаче Демидовича № 613
Демидович № 613 — решение | Высшая математика — Профиматика