Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 588

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 588

Найти пределlim⁡x→+∞x(π4−arctg⁡xx+1)\lim_{x\to+\infty}
x\left(\frac\pi4-\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}\right)
Ответ:12\frac12

Решение

Так как π4=arctg⁡1\frac\pi4=\operatorname{arctg}1, то при больших xx
π4−arctg⁡xx+1=arctg⁡1−xx+11+xx+1=arctg⁡12x+1\frac\pi4-\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}
=\operatorname{arctg}\frac{1-\dfrac{x}{x+1}}
{1+\dfrac{x}{x+1}}
=\operatorname{arctg}\frac1{2x+1}Поэтомуxarctg⁡12x+1=x2x+1⋅arctg⁡12x+112x+1⟶12x\operatorname{arctg}\frac1{2x+1}
=\frac{x}{2x+1}
\cdot
\frac{\operatorname{arctg}\dfrac1{2x+1}}{\dfrac1{2x+1}}
\longrightarrow\frac12