Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 592

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right); \qquad \text{б) }\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)

Ответ:

+\infty

\frac12

Решение

1
Пункт а)
При $x<0$ имеем $|x|=-x$ , поэтому $\sqrt{x^2+x}-x =-x\sqrt{1+\frac1x}-x =-x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)$ При $x\to-\infty$ первый множитель стремится к $+\infty$ , а
второй — к $2$ . Следовательно, произведение стремится к
$+\infty$ .
2
Пункт б)
При $x>0$ рационализируем разность: $\sqrt{x^2+x}-x =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\longrightarrow\frac12$