Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 592

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 592

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞(x2+x−x);б) lim⁡x→+∞(x2+x−x)\text{а) }\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right);
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)
Ответ:а) +∞+\inftyб) 12\frac12

Решение

Пункт а)

При x<0x<0 имеем ∣x∣=−x|x|=-x, поэтомуx2+x−x=−x1+1x−x=−x(1+1x+1)\sqrt{x^2+x}-x
=-x\sqrt{1+\frac1x}-x
=-x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)При x→−∞x\to-\infty первый множитель стремится к +∞+\infty, а
второй — к 22. Следовательно, произведение стремится к
+∞+\infty.

Пункт б)

При x>0x>0 рационализируем разность:x2+x−x=xx2+x+x=11+1x+1⟶12\sqrt{x^2+x}-x
=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\longrightarrow\frac12
Демидович № 592 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика