Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 590

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} \left[1+\frac{(-1)^n}{n}\right]^ {\operatorname{cosec}\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)}

Ответ:

e^{\frac2\pi}

Решение

Идея

Для вычисления предела достаточно рассматривать

n\geqslant2

.
При

n=1

исходное выражение не определено, а при

n\geqslant2

его основание положительно. Напомним, что

\operatorname{cosec}t=\frac1{\sin t}

Положим

\delta_n=\sqrt{n^2+1}-n =\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}, \qquad n\delta_n\longrightarrow\frac12

\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right) =\sin\bigl(\pi n+\pi\delta_n\bigr) =(-1)^n\sin(\pi\delta_n)

Обозначим исходную последовательность через

A_n

. Для её логарифма
получаем

\begin{aligned} \ln A_n &=\frac{(-1)^n}{\sin(\pi\delta_n)} \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right) = \\ &=\frac1{n\sin(\pi\delta_n)} \cdot \frac{\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right)} {\dfrac{(-1)^n}{n}} \end{aligned}

Второй множитель стремится к

1

, а первый можно представить в виде

\frac1{n\sin(\pi\delta_n)} =\frac1{\pi n\delta_n} \cdot\frac{\pi\delta_n}{\sin(\pi\delta_n)} \longrightarrow\frac2\pi

Значит,

\ln A_n\to\frac2\pi

, откуда

A_n\to e^{\frac2\pi}