Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 621

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 621

Построить график функцииy=lim⁡n→∞ln⁡(2n+xn)n,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n},
\qquad x\geqslant0

Построение

Идея

Если 0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant2, вынесем 2n2^n из-под логарифма:ln⁡(2n+xn)n=ln⁡2+1nln⁡(1+(x2)n)\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n}
=\ln2+\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^n\right)При этом0⩽1nln⁡(1+(x2)n)⩽ln⁡2n→00\leqslant
\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^n\right)
\leqslant\frac{\ln2}{n}\to0При x>2x>2 выносим xnx^n:ln⁡(2n+xn)n=ln⁡x+1nln⁡(1+(2x)n)\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n}
=\ln x+\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{2}{x}\right)^n\right)Здесь аналогично0⩽1nln⁡(1+(2x)n)⩽ln⁡2n→00\leqslant
\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{2}{x}\right)^n\right)
\leqslant\frac{\ln2}{n}\to0Следовательно,y={ln⁡2,0⩽x⩽2,ln⁡x,x>2y=
\begin{cases}
\ln2, & 0\leqslant x\leqslant2,\\
\ln x, & x>2
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    Горизонтальный отрезок y=ln⁡2y=\ln2 непрерывно
    переходит в логарифмическую кривую в точке (2,ln⁡2)(2,\ln2).график к задаче Демидовича № 621
Демидович № 621 — решение