Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 621

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n},\qquad x\geqslant0

Построение

Если

0\leqslant x\leqslant2

, вынесем

2^n

из-под логарифма:

\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n}=\ln2+\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^n\right)

При этом

0\leqslant\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^n\right)\leqslant\frac{\ln2}{n}\to0

При

x>2

выносим

x^n

\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n}=\ln x+\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{2}{x}\right)^n\right)

Здесь аналогично

0\leqslant\frac1n\ln\left(1+\left(\frac{2}{x}\right)^n\right)\leqslant\frac{\ln2}{n}\to0

Следовательно,

y=\begin{cases}\ln2, & 0\leqslant x\leqslant2,\\\ln x, & x>2\end{cases}

Горизонтальный отрезок

y=\ln2

непрерывно
переходит в логарифмическую кривую в точке

(2,\ln2)