Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 603

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0}x\left[\frac1x\right]

Ответ:

1

Решение

Идея

Положим

y=\frac1x

. Тогда при

x\to0

имеем

|y|\to\infty

.
Через

\{y\}

обозначим дробную часть числа

y

. Так как

[y]=y-\{y\}

0\leqslant\{y\}<1

, то

x\left[\frac1x\right] =\frac{[y]}y =1-\frac{\{y\}}y

При этом

\left|\frac{\{y\}}y\right|\leqslant\frac1{|y|}\to0

.
Поэтому исходное выражение стремится к

1