Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 620

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 620

Построить графики функций:а) y=sin⁡1000x\text{а) } y=\sin^{1000}xб) y=lim⁡n→∞sin⁡2nx\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\sin^{2n}x

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Поскольку степень чётная, функция неотрицательна. Она имеет
    период π\pi, обращается в нуль при x=kπx=k\pi и принимает значение 11
    при x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi, где k∈Zk\in\mathbb Z. Большая степень делает вершины
    очень узкими.
  2. 2

    Построение графика

    Показываем конечный фрагмент периодического графика;
    он продолжается в обе стороны с периодом π\pi.график к задаче Демидовича № 620
  3. 3

    Пункт б)

    Если ∣sin⁡x∣<1|\sin x|<1, то sin⁡2nx→0\sin^{2n}x\to0. Равенство
    ∣sin⁡x∣=1|\sin x|=1 выполняется тогда и только тогда, когдаx=π2+kπ,k∈Zx=\frac\pi2+k\pi,
    \qquad k\in\mathbb Z    В этих точках sin⁡2nx=1\sin^{2n}x=1 для любого nn. ПоэтомуS={π2+kπ:k∈Z}S=\left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}и предельная функция имеет видy={1,x∈S,0,x∉Sy=
    \begin{cases}
    1, & x\in S,\\
    0, & x\notin S
    \end{cases}
  4. 4

    Построение графика

    На оси OxOx выколоты точки с абсциссами
    π/2+kπ\pi/2+k\pi, а над ними на высоте 11 стоят закрашенные точки. Ниже
    показан конечный фрагмент.график к задаче Демидовича № 620
Демидович № 620 — решение