Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 581

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 581

Найти пределlim⁡x→+∞arcsin⁡1−x1+x\lim_{x\to+\infty}\arcsin\frac{1-x}{1+x}
Ответ:−π2-\frac\pi2

Решение

Положим u=(1−x)/(1+x)=−1+2/(1+x)u=(1-x)/(1+x)=-1+2/(1+x). При x>0x>0 имеем −1<u<1-1<u<1, а при x→+∞x\to+\infty имеем u→−1u\to-1.
Проверим, к какому углу стремится θ=arcsin⁡u\theta=\arcsin u. Для любого 0<ε<π/20<\varepsilon<\pi/2 число −cos⁡ε-\cos\varepsilon больше −1-1. Поэтому при достаточно большом xx−1<u<−cos⁡ε=sin⁡(−π/2+ε).-1<u<-\cos\varepsilon=\sin(-\pi/2+\varepsilon).Синус строго возрастает на [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2], где по определению лежит арксинус. Значит,−π/2<θ<−π/2+ε.-\pi/2<\theta<-\pi/2+\varepsilon.Это и означает, что искомый предел равен −π/2-\pi/2.