Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 581

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 581

Найти пределlim⁡x→+∞arcsin⁡1−x1+x\lim_{x\to+\infty}\arcsin\frac{1-x}{1+x}
Ответ:−π2-\frac\pi2

Решение

При x→+∞x\to+\infty1−x1+x=1x−11x+1⟶−1\frac{1-x}{1+x}
=\frac{\frac1x-1}{\frac1x+1}\longrightarrow-1Функция arcsin⁡t\arcsin t непрерывна на отрезке [−1,1][-1,1], поэтому
можно перейти к пределу под знаком арксинуса:lim⁡x→+∞arcsin⁡1−x1+x=arcsin⁡(−1)=−π2\lim_{x\to+\infty}\arcsin\frac{1-x}{1+x}
=\arcsin(-1)=-\frac\pi2