Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 606

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 606

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡sin⁡⋯sin⁡⏟n разx\lim_{n\to\infty}
\underbrace{\sin\sin\cdots\sin}_{n\ \text{раз}}x
Ответ:Для любого x∈Rx\in\mathbb R00

Решение

Идея

Зафиксируем x∈Rx\in\mathbb R и определим последовательностьa0=x,an+1=sin⁡ana_0=x,
\qquad
a_{n+1}=\sin a_nТогда ana_n равен результату nn-кратного применения синуса.
После первого шага ∣a1∣⩽1|a_1|\leqslant1. Для n⩾1n\geqslant1 положим
bn=∣an∣b_n=|a_n|. Поскольку 0⩽bn⩽10\leqslant b_n\leqslant1, имеемbn+1=∣an+1∣=∣sin⁡an∣=sin⁡∣an∣=sin⁡bnb_{n+1}=|a_{n+1}|=|\sin a_n|=\sin|a_n|=\sin b_nЕсли bn=0b_n=0, то bn+1=0b_{n+1}=0. Если же 0<bn⩽10<b_n\leqslant1, то
0<sin⁡bn<bn0<\sin b_n<b_n. Следовательно, последовательность (bn)(b_n)
неотрицательна и невозрастает. Поэтому bn→bb_n\to b, где
0⩽b⩽10\leqslant b\leqslant1.

Проверка

Переходя к пределу, получаем b=sin⁡bb=\sin b. На отрезке [0,1][0,1] это
равенство имеет единственное решение b=0b=0. Следовательно,
∣an∣→0|a_n|\to0, а значит, an→0a_n\to0.
Демидович № 606 — решение и ответ