Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 624

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

\text{а) } y=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}

\text{б) } y=\lim_{t\to x}\frac1{t-x}\ln\frac tx,\qquad x>0

Построение

1
Пункт а)
Если $x<0$ , то при $t\to+\infty$ произведение $tx\to-\infty$
и $e^{tx}\to0$ . Поэтому предел равен $x$ . Если $x>0$ , то разделим
числитель и знаменатель на $e^{tx}$ : $\frac{xe^{-tx}+1}{e^{-tx}+1}\to1$ При $x=0$ выражение для любого $t$ равно $1/2$ . Следовательно, $y=\begin{cases}x, & x<0,\\\dfrac12, & x=0,\\1, & x>0\end{cases}$
2
Построение графика
Луч $y=x$ и горизонтальный луч $y=1$ имеют
выколотые концы при $x=0$ , а значение функции в этой точке равно $1/2$ . $график к задаче Демидовича № 624$
3
Пункт б)
При фиксированном $x>0$ функция $g(t)=\ln t$ определена в
окрестности точки $t=x$ . Рассматриваемый предел является определением
её производной: $\lim_{t\to x}\frac1{t-x}\ln\frac tx=\lim_{t\to x}\frac{\ln t-\ln x}{t-x}=g'(x)=\frac1x$
4
Построение графика
Получаем правую ветвь гиперболы $y=1/x$ ; оси
координат являются её асимптотами. $график к задаче Демидовича № 624$