Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 624

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 624

а) y=lim⁡t→+∞x+etx1+etx\text{а) } y=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}б) y=lim⁡t→x1t−xln⁡tx,x>0\text{б) } y=\lim_{t\to x}\frac1{t-x}\ln\frac tx,
\qquad x>0

Построение

Пункт а)

Если x<0x<0, то при t→+∞t\to+\infty произведение tx→−∞tx\to-\infty
и etx→0e^{tx}\to0. Поэтому предел равен xx. Если x>0x>0, то разделим
числитель и знаменатель на etxe^{tx}:xe−tx+1e−tx+1→1\frac{xe^{-tx}+1}{e^{-tx}+1}\to1При x=0x=0 выражение для любого tt равно 1/21/2. Следовательно,y={x,x<0,12,x=0,1,x>0y=
\begin{cases}
x, & x<0,\\
\dfrac12, & x=0,\\
1, & x>0
\end{cases}

Построение графика

Луч y=xy=x и горизонтальный луч y=1y=1 имеют
выколотые концы при x=0x=0, а значение функции в этой точке равно 1/21/2.график к задаче Демидовича № 624

Пункт б)

При фиксированном x>0x>0 положим h=(t−x)/xh=(t-x)/x. Тогда t/x=1+ht/x=1+h, t−x=xht-x=xh и h→0h\to0 при t→xt\to x. По №5291t−xln⁡tx=1xln⁡(1+h)h⟶1x.\frac1{t-x}\ln\frac tx
=\frac1x\frac{\ln(1+h)}h\longrightarrow\frac1x.

Построение графика

Получаем правую ветвь гиперболы y=1/xy=1/x; оси
координат являются её асимптотами.график к задаче Демидовича № 624