Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 614

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

\text{а) } y=\frac{x^{100}}{1+x^{100}},\qquad x\geqslant0

\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n},\qquad x\geqslant0

Построение

При

x\geqslant0

запишем

y=1-\frac1{1+x^{100}}.

С ростом

x

число

1+x^{100}

строго возрастает, его обратная величина строго убывает, а

1-1/(1+x^{100})

строго возрастает. Её начальное значение и предел на
бесконечности равны

y(0)=0

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{100}}{1+x^{100}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+x^{-100}}=1

В точке

x=1

получаем

y=1/2

. Прямая

y=1

является горизонтальной
асимптотой.

Из-за большой степени переход от значений, близких
к нулю, к значениям, близким к единице, происходит в узкой окрестности
точки

x=1

При

0\leqslant x<1

имеем

x^n\to0

, а при

x>1

удобно разделить числитель и знаменатель на

x^n

\frac{x^n}{1+x^n}=\frac{1}{1+x^{-n}}\to1

При

x=1

все члены последовательности равны

1/2

. Поэтому

y=\begin{cases}0, & 0\leqslant x<1,\\\dfrac12, & x=1,\\1, & x>1\end{cases}

В точке

x=1

оба горизонтальных участка выколоты,
а значение функции отмечено посередине между ними. график к задаче Демидовича № 614