Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 614

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 614

\text{а) } y=\frac{x^{100}}{1+x^{100}},\qquad x\geqslant0

\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n},\qquad x\geqslant0

Построение

1
Пункт а)
Для $x\geqslant0$ знаменатель положителен, а производная
равна $y'=\frac{100x^{99}}{\left(1+x^{100}\right)^2}\geqslant0$ Следовательно, функция возрастает. Её начальное значение и предел на
бесконечности равны $y(0)=0$ $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{100}}{1+x^{100}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+x^{-100}}=1$ В точке $x=1$ получаем $y=1/2$ . Прямая $y=1$ является горизонтальной
асимптотой.
2
Построение графика
Из-за большой степени переход от значений, близких
к нулю, к значениям, близким к единице, происходит в узкой окрестности
точки $x=1$ . $график к задаче Демидовича № 614$
3
Пункт б)
При $0\leqslant x<1$ имеем $x^n\to0$ , а при $x>1$
удобно разделить числитель и знаменатель на $x^n$ : $\frac{x^n}{1+x^n}=\frac{1}{1+x^{-n}}\to1$ При $x=1$ все члены последовательности равны $1/2$ . Поэтому $y=\begin{cases}0, & 0\leqslant x<1,\\\dfrac12, & x=1,\\1, & x>1\end{cases}$
4
Построение графика
В точке $x=1$ оба горизонтальных участка выколоты,
а значение функции отмечено посередине между ними. $график к задаче Демидовича № 614$