Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 604

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 604

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡(πn2+1)\lim_{n\to\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)
Ответ:00

Решение

Положимδn=n2+1−n=1n2+1+n\delta_n=\sqrt{n^2+1}-n
=\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}Тогда δn→0\delta_n\to0, и∣sin⁡(πn2+1)∣=∣sin⁡(πδn)∣⩽πδn⟶0\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right|
=|\sin(\pi\delta_n)|
\leqslant\pi\delta_n\longrightarrow0