Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 598

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что:

\begin{aligned} \text{а) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2+0, &&\text{при }x\to-\infty \\ \text{б) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2-0, &&\text{при }x\to+\infty \end{aligned}

Доказано:

\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2+0, \quad\text{при }x\to-\infty

\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2-0, \quad\text{при }x\to+\infty

Доказательство

Идея

В обоих случаях используем тождество

\frac{2x}{1+x}-2=-\frac2{1+x}

1
Пункт а)
При $x\to-\infty$ правая часть положительна и стремится
к нулю. Поэтому значение дроби стремится к $2$ , оставаясь больше
$2$ , то есть приближается к $2$ сверху.
2
Пункт б)
При $x\to+\infty$ правая часть отрицательна и стремится
к нулю. Поэтому значение дроби стремится к $2$ , оставаясь меньше
$2$ , то есть приближается к $2$ снизу.

Что и требовалось доказать