Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 598

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 598

Доказать, что:а) 2x1+x⟶2+0,при x→−∞б) 2x1+x⟶2−0,при x→+∞\begin{aligned}
\text{а) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2+0,
&&\text{при }x\to-\infty
\\
\text{б) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2-0,
&&\text{при }x\to+\infty
\end{aligned}
Доказано:а) 2x1+x⟶2+0,при x→−∞\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2+0,
\quad\text{при }x\to-\inftyб) 2x1+x⟶2−0,при x→+∞\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2-0,
\quad\text{при }x\to+\infty

Доказательство

В обоих случаях используем тождество2x1+x−2=−21+x\frac{2x}{1+x}-2=-\frac2{1+x}

Пункт а)

При x→−∞x\to-\infty правая часть положительна и стремится
к нулю. Поэтому значение дроби стремится к 22, оставаясь больше
22, то есть приближается к 22 сверху.

Пункт б)

При x→+∞x\to+\infty правая часть отрицательна и стремится
к нулю. Поэтому значение дроби стремится к 22, оставаясь меньше
22, то есть приближается к 22 снизу.

Что и требовалось доказать

Демидович № 598 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика