Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 577

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\begin{aligned} \text{а) }&\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}^2x}{\ln(\operatorname{ch}3x)}\\ \text{б) }&\lim_{x\to+\infty} \frac{\operatorname{sh}\sqrt{x^2+x}-\operatorname{sh}\sqrt{x^2-x}}{\operatorname{ch} x}\end{aligned}

Ответ:

\frac29

2\operatorname{sh}\frac12

Решение

1
Пункт а)
При $x\to0$ имеем $\operatorname{sh} x\sim x$ , а также $\begin{aligned} \ln(\operatorname{ch}3x) &\sim\operatorname{ch}3x-1 =2\operatorname{sh}^2\frac{3x}{2} \sim\frac92x^2\end{aligned}$ Поэтому $\begin{aligned} \frac{\operatorname{sh}^2x}{\ln(\operatorname{ch}3x)} &\longrightarrow\frac{x^2}{(9/2)x^2} =\frac29\end{aligned}$

Проверка

б) Положим

A=\sqrt{x^2+x}

B=\sqrt{x^2-x}

. Поскольку

\frac Ax=\sqrt{1+\frac1x}\longrightarrow1, \qquad \frac Bx=\sqrt{1-\frac1x}\longrightarrow1

то

A+B\sim2x

. Отсюда

\begin{aligned} A-B &=\frac{2x}{A+B}\longrightarrow1\\ A-x &=\frac{x}{A+x}\longrightarrow\frac12\\ B-x &=-\frac{x}{B+x}\longrightarrow-\frac12\end{aligned}

Следовательно,

\dfrac{A+B}{2}-x=\dfrac{(A-x)+(B-x)}2\to0

.
По формуле разности гиперболических синусов

\begin{aligned} \frac{\operatorname{sh} A-\operatorname{sh} B}{\operatorname{ch} x} &=2\frac{\operatorname{ch}((A+B)/2)}{\operatorname{ch} x}\, \operatorname{sh}\frac{A-B}{2}\end{aligned}

Если

\delta_x=\dfrac{A+B}{2}-x

, то

\delta_x\to0

\begin{aligned} \frac{\operatorname{ch}((A+B)/2)}{\operatorname{ch} x} &=\operatorname{ch}\delta_x+\operatorname{th} x\,\operatorname{sh}\delta_x\longrightarrow1\end{aligned}

Кроме того,

\dfrac{A-B}{2}\to\dfrac12

. Отсюда получаем ответ.