Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 577

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\begin{aligned} \text{а) }&\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}^2x}{\ln(\operatorname{ch}3x)}\\ \text{б) }&\lim_{x\to+\infty} \frac{\operatorname{sh}\sqrt{x^2+x}-\operatorname{sh}\sqrt{x^2-x}}{\operatorname{ch} x}\end{aligned}

Ответ:а)

\frac29

б)

2\operatorname{sh}\frac12

Решение

Пункт а). Разделим числитель и знаменатель на

x^2

. По №576а

\frac{\operatorname{sh}^2x}{x^2}\longrightarrow1.

Для знаменателя положим

u=\operatorname{ch}3x-1

. При малом

x\ne0

имеем

u>0

, а при

x\to0

имеем

u\to0

. Тогда

\frac{\ln\operatorname{ch}3x}{x^2}=\frac{\ln(1+u)}u\,9\frac{\operatorname{ch}3x-1}{(3x)^2}\longrightarrow1\cdot9\cdot\frac12=\frac92

по №529 и №576б. Следовательно, предел исходного отношения равен

1/(9/2)=2/9

Пункт б). Пусть

A=\sqrt{x^2+x}

B=\sqrt{x^2-x}

; для

x>1

оба корня определены. Рационализируем их отклонения от

x

A-x=\frac{x}{A+x}=\frac1{\sqrt{1+1/x}+1}\longrightarrow\frac12,

B-x=-\frac{x}{B+x}=-\frac1{\sqrt{1-1/x}+1}\longrightarrow-\frac12.

По определениям гиперболических функций, разделив числитель и знаменатель на

e^x

, получаем

\frac{\operatorname{sh}A-\operatorname{sh}B}{\operatorname{ch}x}=\frac{e^{A-x}-e^{B-x}-e^{-A-x}+e^{-B-x}}{1+e^{-2x}}.

Первые две экспоненты стремятся соответственно к

e^{1/2}

e^{-1/2}

. Так как

A,B\to+\infty

, экспоненты

e^{-A-x}

e^{-B-x}

стремятся к нулю. Знаменатель стремится к

1

. Поэтому

e^{1/2}-e^{-1/2}=2\operatorname{sh}(1/2).