Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 625

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 625

\text{а) } y=\lim_{n\to\infty}\frac{x\tan^{2n}\dfrac{n\pi x}{4}+\sqrt{x}}{\tan^{2n}\dfrac{n\pi x}{4}+1},\qquad x\geqslant0

\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}x\,\operatorname{sgn}\left|\sin^2(n!\pi x)\right|

\text{в) } \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n}=1

Построение

1
Пункт а)
Рассматриваем предел исходной последовательности без
доопределения её членов в полюсах тангенса. Поэтому точка $x$ входит в
область определения предельной функции только в том случае, если
исходное выражение определено для всех достаточно больших $n$ и
соответствующая последовательность имеет конечный предел.
2
Обозначим $a_n(x)=\tan^{2n}\frac{n\pi x}{4}$ Тогда при тех $n$ , для которых тангенс определён, $\frac{x a_n(x)+\sqrt{x}}{a_n(x)+1}$ лежит между $x$ и $\sqrt{x}$ .
3
Сначала пусть $x=4k$ , где $k\in\mathbb Z_{\geqslant0}$ . Тогда $\tan\frac{n\pi x}{4}=\tan(n\pi k)=0$ для каждого $n$ , поэтому предел существует и равен $y=\sqrt{x}=2\sqrt{k}$
4
Докажем, что других точек области определения предельной функции нет.
Пусть сначала $x=p/q\geqslant0$ — рациональное число, записанное в
несократимом виде, и $x$ не кратно $4$ . Для всех $n$ , кратных $4q$ ,
угол $n\pi x/4$ кратен $\pi$ , поэтому $a_n(x)=0$ и соответствующая
подпоследовательность равна $\sqrt{x}$ .
5
Если среди углов встречается полюс тангенса, то из периодичности он
встречается для бесконечного числа индексов. В этом случае исходная
последовательность не определена для всех достаточно больших $n$ . В
частности, при $x=1$ тангенс не определён для всех
$n\equiv2\pmod4$ , поэтому эта точка не входит в область определения.

Пусть полюсов тангенса нет. Тогда числитель $p$ делится на $4$ , и можно
записать $x=\frac{4r}{q},\qquad(r,q)=1$ При этом $q$ нечётно. Если $q=1$ , то $x$ кратно $4$ , что уже разобрано.
Пусть $q\geqslant3$ . Остатки $nr$ по модулю $q$ пробегают все классы.
Возьмём $j=\frac{q-1}{2}$ Тогда $\frac14<\frac jq<\frac12$ Найдётся класс индексов, для которого $nr\equiv j\pmod q$ . На этом
классе угол $n\pi r/q$ по модулю $\pi$ равен $j\pi/q$ , поэтому $\left|\tan\frac{n\pi x}{4}\right|>1$ Повторяя соответствующий класс, получаем подпоследовательность, на
которой $a_n(x)\to+\infty$ , а исходное выражение стремится к $x$ .
Здесь $x\neq1$ , поэтому $x\neq\sqrt{x}$ и две найденные
подпоследовательности имеют разные пределы.

Пусть теперь $x$ иррационально. Дробные части чисел $nx/4$ плотны в
$[0,1]$ . Поэтому существуют бесконечные подпоследовательности, на одной
из которых модуль тангенса меньше некоторого числа $\rho<1$ , а на другой
больше $1/\rho$ . На первой $a_n(x)\to0$ , на второй
$a_n(x)\to+\infty$ . Соответствующие пределы равны $\sqrt{x}$ и $x$ и
различны. Таким образом, $D=\{4k:k\in\mathbb Z_{\geqslant0}\}$ $y(4k)=2\sqrt{k}$
6
Построение графика
График состоит только из изолированных точек
$(4k,2\sqrt{k})$ . Ниже показаны первые пять точек; множество
продолжается вправо. $график к задаче Демидовича № 625$
7
Пункт б)
Так как $|\sin^2 u|\geqslant0$ , знак этого числа равен нулю
только при $\sin u=0$ и равен единице во всех остальных случаях.
8
Если $x=p/q\in\mathbb Q$ , где $p\in\mathbb Z$ и $q\in\mathbb N$ , то
при всех $n\geqslant q$ число $n!x$ целое. Поэтому $\sin(n!\pi x)=0$ и предел равен нулю. Если $x\notin\mathbb Q$ , то $n!x$ иррационально и
не может быть целым. Следовательно, синус не равен нулю, знак равен
единице для каждого $n$ , а предел равен $x$ . Итак, $y=\begin{cases}0, & x\in\mathbb Q,\\x, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$
9
Построение графика
Рациональные и иррациональные числа плотны на
прямой. Поэтому график плотен одновременно на оси $Ox$ и на прямой
$y=x$ . На рисунке показана схема: отдельные точки изображают элементы
обоих плотных множеств и не заменяют их непрерывными линиями. Для точек
на диагонали выбраны иррациональные абсциссы
$\sqrt2/10+k/5$ . Их положения на рисунке являются численными
приближениями этих иррациональных чисел. $график к задаче Демидовича № 625$
10
Пункт в)
Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо $\max(a,b)\leqslant\sqrt[n]{a^n+b^n}\leqslant\sqrt[n]{2}\max(a,b)$ По теореме о двух милиционерах $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max(a,b)$ Подставляя $a=|x|$ и $b=|y|$ , получаем уравнение предельной кривой $\max(|x|,|y|)=1$ Оно выполняется тогда и только тогда, когда $|x|\leqslant1$ ,
$|y|\leqslant1$ и хотя бы одно из чисел $|x|$ , $|y|$ равно единице.
Следовательно, кривая является границей квадрата $[-1,1]^2$ .
11
Построение графика
Строим четыре стороны квадрата с вершинами
$(-1,-1)$ , $(-1,1)$ , $(1,1)$ , $(1,-1)$ . $график к задаче Демидовича № 625$