Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 625

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики функций:

Задача 625

а) y=lim⁡n→∞xtan⁡2nπx4+xtan⁡2nπx4+1,x⩾0\text{а) } y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x\tan^{2n}\dfrac{\pi x}{4}+\sqrt{x}}
{\tan^{2n}\dfrac{\pi x}{4}+1},
\qquad x\geqslant0б) y=lim⁡n→∞x sgn⁡∣sin⁡2(n!πx)∣\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}
x\,\operatorname{sgn}\left|\sin^2(n!\pi x)\right|в) lim⁡n→∞∣x∣n+∣y∣nn=1\text{в) } \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n}=1

Построение

Пункт а)

Зафиксируем x⩾0x\geqslant0. Тангенс в условии не определён при x=2+4kx=2+4k, k=0,1,…k=0,1,\ldots; эти точки исключены. Для остальных xx положимa=tan⁡2πx4⩾0.a=\tan^2\frac{\pi x}{4}\geqslant0.Теперь от nn зависит только степень ana^n.

Если a<1a<1, то an→0a^n\to0, иxan+xan+1⟶x.\frac{xa^n+\sqrt x}{a^n+1}\longrightarrow\sqrt x.Если a>1a>1, делим числитель и знаменатель на ana^n:x+x a−n1+a−n⟶x.\frac{x+\sqrt x\,a^{-n}}{1+a^{-n}}\longrightarrow x.Если a=1a=1, все члены равны (x+x)/2(x+\sqrt x)/2.

Укажем соответствующие промежутки. Неравенство ∣tan⁡t∣<1|\tan t|<1 выполняется при −π/4+kπ<t<π/4+kπ-\pi/4+k\pi<t<\pi/4+k\pi. Подставляя t=πx/4t=\pi x/4, получаем 4k−1<x<4k+14k-1<x<4k+1. Неравенство ∣tan⁡t∣>1|\tan t|>1 даёт 4k+1<x<4k+34k+1<x<4k+3, кроме полюса x=4k+2x=4k+2. Равенство ∣tan⁡t∣=1|\tan t|=1 соответствует нечётным целым xx. Поэтому на D=[0,+∞)∖{4k+2:k=0,1,…}D=[0,+\infty)\setminus\{4k+2:k=0,1,\ldots\}y={x,4k−1<x<4k+1,x,4k+1<x<4k+3,x≠4k+2,(x+x)/2,x=2k+1,y=\begin{cases}
\sqrt x,&4k-1<x<4k+1,\\
x,&4k+1<x<4k+3,\quad x\ne4k+2,\\
(x+\sqrt x)/2,&x=2k+1,
\end{cases}где выбираются целые kk, для которых x⩾0x\geqslant0.

Построение графика: чередуем участки y=xy=\sqrt x и y=xy=x. При нечётном xx значение находится посередине между x\sqrt x и xx; в точке x=1x=1 эти значения совпадают. При x=2,6,10,…x=2,6,10,\ldots точки выколоты. Рисунок показывает начало графика.график к задаче Демидовича № 625

Пункт б)

Так как ∣sin⁡2u∣⩾0|\sin^2 u|\geqslant0, знак этого числа равен нулю
только при sin⁡u=0\sin u=0 и равен единице во всех остальных случаях.
Если x=p/q∈Qx=p/q\in\mathbb Q, где p∈Zp\in\mathbb Z и q∈Nq\in\mathbb N, то
при всех n⩾qn\geqslant q число n!xn!x целое. Поэтомуsin⁡(n!πx)=0\sin(n!\pi x)=0и предел равен нулю. Если x∉Qx\notin\mathbb Q, то n!xn!x иррационально и
не может быть целым. Следовательно, синус не равен нулю, знак равен
единице для каждого nn, а предел равен xx. Итак,y={0,x∈Q,x,x∈R∖Qy=
\begin{cases}
0, & x\in\mathbb Q,\\
x, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}

Построение графика

Рациональные и иррациональные числа плотны на
прямой. Поэтому график плотен одновременно на оси OxOx и на прямой
y=xy=x. На рисунке показана схема: отдельные точки изображают элементы
обоих плотных множеств и не заменяют их непрерывными линиями. Для точек
на диагонали выбраны иррациональные абсциссы
2/10+k/5\sqrt2/10+k/5. Их положения на рисунке являются численными
приближениями этих иррациональных чисел.график к задаче Демидовича № 625

Пункт в)

Для любых неотрицательных чисел aa и bb справедливоmax⁡(a,b)⩽an+bnn⩽2nmax⁡(a,b)\max(a,b)
\leqslant
\sqrt[n]{a^n+b^n}
\leqslant
\sqrt[n]{2}\max(a,b)По теореме о двух милиционерахlim⁡n→∞an+bnn=max⁡(a,b)\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max(a,b)Подставляя a=∣x∣a=|x| и b=∣y∣b=|y|, получаем уравнение предельной кривойmax⁡(∣x∣,∣y∣)=1\max(|x|,|y|)=1Оно выполняется тогда и только тогда, когда ∣x∣⩽1|x|\leqslant1,
∣y∣⩽1|y|\leqslant1 и хотя бы одно из чисел ∣x∣|x|, ∣y∣|y| равно единице.
Следовательно, кривая является границей квадрата [−1,1]2[-1,1]^2.

Построение графика

Строим четыре стороны квадрата с вершинами
(−1,−1)(-1,-1), (−1,1)(-1,1), (1,1)(1,1), (1,−1)(1,-1).график к задаче Демидовича № 625
Демидович № 625 — решение | Высшая математика — Профиматика