Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 585

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{h\to0} \frac{\operatorname{arctg}(x+h)-\operatorname{arctg} x}{h}

Ответ:Для любого

x\in\mathbb R

\frac1{1+x^2}

Решение

Сначала выведем вспомогательный предел. Если

s=\arctan u

, то

u=\tan s

|s|\leqslant|\tan s|=|u|

по геометрической оценке тангенса. Значит,

u\to0

влечёт

s\to0

. Используя первый замечательный предел, получаем

\frac{\arctan u}{u}=\frac{s}{\tan s}=\frac{s\cos s}{\sin s}\longrightarrow1.

Теперь зафиксируем

x

и обозначим

A=\arctan(x+h)

B=\arctan x

. При

h\to0

число

D=1+x(x+h)

стремится к

1+x^2>0

, поэтому для достаточно малого

|h|

оно положительно. Кроме того,

\cos(A-B)=\frac{1+x(x+h)}{\sqrt{1+(x+h)^2}\sqrt{1+x^2}}>0.

Поскольку

A-B\in(-\pi,\pi)

, это даёт

|A-B|<\pi/2

. Поэтому формула тангенса разности определяет именно угол

A-B

, без добавления

\pi

A-B=\arctan\frac{h}{D}.

Положим

u=h/D

. При

h\ne0

имеем

u\ne0

, и

\frac{A-B}{h}=\frac{\arctan u}{u}\frac1D\longrightarrow1\cdot\frac1{1+x^2}.

Ответ:

1/(1+x^2)

для любого действительного

x