Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 585

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{h\to0} \frac{\operatorname{arctg}(x+h)-\operatorname{arctg} x}{h}

Ответ:Для любого

x\in\mathbb R

\frac1{1+x^2}

Решение

Идея

Здесь

x

— фиксированное действительное число. Так как

1+x(x+h)\longrightarrow1+x^2>0, \qquad h\to0

то при достаточно малых

|h|

знаменатель положителен и формула
разности арктангенсов применяется без добавки

\pm\pi

. Положим

u_h=\frac{h}{1+x(x+h)}

Тогда

\operatorname{arctg}(x+h)-\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} u_h

. Поэтому

\begin{aligned} \lim_{h\to0} \frac{\operatorname{arctg}(x+h)-\operatorname{arctg} x}{h} &=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{arctg} u_h}{u_h} \cdot\frac{u_h}{h} = \\ &=\frac1{1+x^2} \end{aligned}