Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 617

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n},\qquad x\geqslant0

Построение

Идея

Если

0\leqslant x\leqslant1

, то

1\leqslant\sqrt[n]{1+x^n}\leqslant\sqrt[n]{2}

Обе границы стремятся к

1

, поэтому по теореме о двух милиционерах
предел равен

1

. Если

x>1

, вынесем

x^n

из-под корня:

\sqrt[n]{1+x^n}=x\sqrt[n]{1+x^{-n}}\to x

Итак,

y=\begin{cases}1, & 0\leqslant x\leqslant1,\\x, & x>1\end{cases}

1
Построение графика
Горизонтальный отрезок $y=1$ соединяется в точке
$(1,1)$ с лучом $y=x$ . $график к задаче Демидовича № 617$