Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 582

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 582

Найти пределlim⁡x→+∞arccos⁡(x2+x−x)\lim_{x\to+\infty}
\arccos\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)
Ответ:π3\frac\pi3

Решение

При x>0x>0 рационализируем разность:u=x2+x−x=xx2+x+x=11+1/x+1⟶12.u=\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=\frac1{\sqrt{1+1/x}+1}\longrightarrow\frac12.При этом 0<u<1/20<u<1/2. Пусть θ=arccos⁡u∈[0,π]\theta=\arccos u\in[0,\pi]. Для любого 0<ε<π/30<\varepsilon<\pi/3 имеем cos⁡(π/3+ε)<1/2\cos(\pi/3+\varepsilon)<1/2. Из предела uu следует, что при достаточно большом xxcos⁡(π/3+ε)<u<cos⁡(π/3)=12.\cos(\pi/3+\varepsilon)<u<\cos(\pi/3)=\frac12.На [0,π][0,\pi] косинус строго убывает, поэтомуπ/3<θ<π/3+ε.\pi/3<\theta<\pi/3+\varepsilon.Таким образом, θ→π/3\theta\to\pi/3.