Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 582

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 582

Найти пределlim⁡x→+∞arccos⁡(x2+x−x)\lim_{x\to+\infty}
\arccos\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)
Ответ:π3\frac\pi3

Решение

Идея

При достаточно больших xx рационализируем разность:
x2+x−x=xx2+x+x=11+1x+1⟶12\sqrt{x^2+x}-x
=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\longrightarrow\frac12При x>0x>0 полученное выражение положительно и меньше 12\frac12,
поэтому аргумент арккосинуса находится в его области определения.
Арккосинус непрерывен в точке 12\frac12, поэтому искомый предел
равен arccos⁡12=π3\arccos\frac12=\frac\pi3.
Демидович № 582 — решение и ответ