Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 601

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

f(n)

f(n-0)

f(n+0)

n=0,\pm1,\ldots

, если

f(x)=\operatorname{sgn}(\sin\pi x)

Ответ:Для любого

n\in\mathbb Z

f(n)=0, \qquad f(n-0)=(-1)^{n+1}, \qquad f(n+0)=(-1)^n

Решение

Напомним, что

\operatorname{sgn} t= \begin{cases} -1, & t<0, \\ 0, & t=0, \\ 1, & t>0 \end{cases}

Для любого целого

n

\sin\pi n=0

поэтому

f(n)=0

Пусть

h>0

h\to0

. Слева от точки

n

\sin\pi(n-h)=(-1)^{n+1}\sin\pi h

а справа от неё

\sin\pi(n+h)=(-1)^n\sin\pi h

При достаточно малом

h>0

имеем

\sin\pi h>0

. Следовательно,

f(n-0)=(-1)^{n+1}, \qquad f(n+0)=(-1)^n