Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 601

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 601

Найти f(n)f(n), f(n−0)f(n-0), f(n+0)f(n+0),
n=0,±1,…n=0,\pm1,\ldots, еслиf(x)=sgn⁡(sin⁡πx)f(x)=\operatorname{sgn}(\sin\pi x)
Ответ:Для любого n∈Zn\in\mathbb Zf(n)=0,f(n−0)=(−1)n+1,f(n+0)=(−1)nf(n)=0,
\qquad
f(n-0)=(-1)^{n+1},
\qquad
f(n+0)=(-1)^n

Решение

Идея

Напомним, чтоsgn⁡t={−1,t<0,0,t=0,1,t>0\operatorname{sgn} t=
\begin{cases}
-1, & t<0,
\\
0, & t=0,
\\
1, & t>0
\end{cases}Для любого целого nnsin⁡πn=0\sin\pi n=0поэтому f(n)=0f(n)=0.

Проверка

Пусть h>0h>0 и h→0h\to0. Слева от точки nnsin⁡π(n−h)=(−1)n+1sin⁡πh\sin\pi(n-h)=(-1)^{n+1}\sin\pi hа справа от неёsin⁡π(n+h)=(−1)nsin⁡πh\sin\pi(n+h)=(-1)^n\sin\pi hПри достаточно малом h>0h>0 имеем sin⁡πh>0\sin\pi h>0. Следовательно,f(n−0)=(−1)n+1,f(n+0)=(−1)nf(n-0)=(-1)^{n+1},
\qquad
f(n+0)=(-1)^n
Демидович № 601 — решение и ответ