Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 584

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 584

Найти пределlim⁡x→−∞arcctg⁡x1+x2\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
Ответ:3π4\frac{3\pi}{4}

Решение

При x<0x<0 имеем x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2}=|x|=-x, поэтомуu=x1+x2=−11+1/x2⟶−1,−1<u<0.u=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=-\frac1{\sqrt{1+1/x^2}}\longrightarrow-1,
\qquad -1<u<0.Арккотангенс берём со значениями в (0,π)(0,\pi). На этом интервале котангенс строго убывает и cot⁡(3π/4)=−1\cot(3\pi/4)=-1. Для любого 0<ε<π/40<\varepsilon<\pi/4 при достаточно большом ∣x∣|x|−1<u<cot⁡(3π/4−ε).-1<u<\cot(3\pi/4-\varepsilon).Следовательно,3π/4−ε<arcctg⁡u<3π/4,3\pi/4-\varepsilon<\operatorname{arcctg}u<3\pi/4,откуда искомый предел равен 3π/43\pi/4.
Демидович № 584 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика