Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 584

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Ответ:

\frac{3\pi}{4}

Решение

Поскольку при

x<0

имеем

|x|=-x

, то

\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} =\frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}} =-\frac1{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\longrightarrow-1

Арккотангенс берём на главной ветви

(0,\pi)

. По непрерывности

\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} =\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}