Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 609

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 609

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена при x>ax>a, ограничена
в каждой конечной области a<x<ba<x<b иlim⁡x→+∞[f(x+1)−f(x)]=+∞\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=+\inftyтоlim⁡x→+∞f(x)x=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty
Доказано:lim⁡x→+∞f(x)x=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Доказательство

Зафиксируем произвольное M>0M>0. Существует число X0>aX_0>a, для которого
f(u+1)−f(u)>2Mu>X0f(u+1)-f(u)>2M
\qquad
u>X_0Выберем X>X0X>X_0 и запишем x=X+n+tx=X+n+t, где n∈Nn\in\mathbb N и
0⩽t<10\leqslant t<1.
Телескопическое сложение даётf(X+n+t)>f(X+t)+2Mnf(X+n+t)>f(X+t)+2MnНа конечном промежутке [X,X+1][X,X+1] функция ограничена, поэтому существует
K>0K>0, для которого f(X+t)⩾−Kf(X+t)\geqslant-K. Следовательно,f(x)x>−Kx+2Mnx\frac{f(x)}x>
-\frac Kx+2M\frac nxПри x→+∞x\to+\infty имеем n/x→1n/x\to1, и потому правая часть в конце
концов больше MM. Поскольку MM было произвольным, получаем требуемый
бесконечный предел

Что и требовалось доказать

Демидович № 609 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика