Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 579

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to+\infty}(x-\ln\operatorname{ch} x); \qquad \text{б) }\lim_{x\to0} \frac{e^{\sin2x}-e^{\sin x}}{\operatorname{th} x}

Ответ:

\ln2

1

Решение

1
Пункт а)
При $x\to+\infty$ представим гиперболический косинус в виде $\operatorname{ch} x=\frac{e^x}{2}(1+e^{-2x})$ Тогда $\begin{aligned} x-\ln\operatorname{ch} x &=x-\left[x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\right]=\\ &=\ln2-\ln(1+e^{-2x}) \longrightarrow\ln2\end{aligned}$
2
Пункт б)
При $x\to0$ используем $e^u-1\sim u$ : $\begin{aligned} e^{\sin2x}-e^{\sin x} &=e^{\sin x}\left(e^{\sin2x-\sin x}-1\right)\sim\\ &\sim\sin2x-\sin x\sim x\end{aligned}$ Поскольку $\operatorname{th} x\sim x$ , отношение стремится к единице.