Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 594

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 594

Найтиh=lim⁡x→+∞f(x)−lim⁡x→−∞f(x)h=\lim_{x\to+\infty}f(x)-\lim_{x\to-\infty}f(x)еслиf(x)=ln⁡x+x2+a2x+x2+b2f(x)=\ln\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}
{x+\sqrt{x^2+b^2}}
Ответ:При a≠0a\ne0 и b≠0b\ne0h=ln⁡b2a2=2ln⁡∣ba∣h=\ln\frac{b^2}{a^2}
=2\ln\left|\frac ba\right|

Решение

Сначала отделим вырожденные случаи. При c≠0c\ne0 имеем
x2+c2>∣x∣\sqrt{x^2+c^2}>|x|, поэтому x+x2+c2>0x+\sqrt{x^2+c^2}>0. Если же
c=0c=0, это выражение обращается в нуль при x<0x<0. Следовательно,
для существования обоих пределов необходимо a≠0a\ne0 и b≠0b\ne0.
x+x2+a2x+x2+b2=1+1+a2x21+1+b2x2⟶1\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}
{x+\sqrt{x^2+b^2}}
=\frac{1+\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}}
{1+\sqrt{1+\frac{b^2}{x^2}}}\longrightarrow1Следовательно,lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0При x→−∞x\to-\infty рационализируем оба выражения:x+x2+c2=c2x2+c2−xx+\sqrt{x^2+c^2}
=\frac{c^2}{\sqrt{x^2+c^2}-x}Поэтомуx+x2+a2x+x2+b2=a2b2⋅x2+b2−xx2+a2−x⟶a2b2\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}
{x+\sqrt{x^2+b^2}}
=\frac{a^2}{b^2}
\cdot
\frac{\sqrt{x^2+b^2}-x}
{\sqrt{x^2+a^2}-x}
\longrightarrow\frac{a^2}{b^2}иlim⁡x→−∞f(x)=ln⁡a2b2\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ln\frac{a^2}{b^2}Значит,h=0−ln⁡a2b2=ln⁡b2a2=2ln⁡∣ba∣h=0-\ln\frac{a^2}{b^2}
=\ln\frac{b^2}{a^2}
=2\ln\left|\frac ba\right|