Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 578

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 578

Найти пределы:а) lim⁡x→ash⁡x−sh⁡ax−a;б) lim⁡x→ach⁡x−ch⁡ax−a;в) lim⁡x→0ln⁡ch⁡xln⁡cos⁡x\text{а) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{sh} x-\operatorname{sh} a}{x-a};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{ch} x-\operatorname{ch} a}{x-a};
\qquad
\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\ln\cos x}
Ответ:ch⁡a\operatorname{ch} ash⁡a\operatorname{sh} a−1-1

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Используем формулу разности гиперболических синусов:sh⁡x−sh⁡ax−a=ch⁡x+a2 sh⁡((x−a)/2)(x−a)/2⟶ch⁡a\frac{\operatorname{sh} x-\operatorname{sh} a}{x-a}
    =\operatorname{ch}\frac{x+a}{2}\,
    \frac{\operatorname{sh}((x-a)/2)}{(x-a)/2}
    \longrightarrow\operatorname{ch} a
  2. 2

    Пункт б)

    По формуле разности гиперболических косинусовch⁡x−ch⁡ax−a=sh⁡x+a2 sh⁡((x−a)/2)(x−a)/2⟶sh⁡a\frac{\operatorname{ch} x-\operatorname{ch} a}{x-a}
    =\operatorname{sh}\frac{x+a}{2}\,
    \frac{\operatorname{sh}((x-a)/2)}{(x-a)/2}
    \longrightarrow\operatorname{sh} a
  3. 3

    Пункт в)

    При x→0x\to0 выполняются эквивалентностиln⁡ch⁡xln⁡cos⁡x∼x2/2−x2/2⟶−1\begin{aligned}
    \frac{\ln\operatorname{ch} x}{\ln\cos x}
    &\sim\frac{x^2/2}{-x^2/2}\longrightarrow-1
    \end{aligned}
Демидович № 578 — решение и ответ