Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 578

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 578

Найти пределы:а) lim⁡x→ash⁡x−sh⁡ax−a;б) lim⁡x→ach⁡x−ch⁡ax−a;в) lim⁡x→0ln⁡ch⁡xln⁡cos⁡x\text{а) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{sh} x-\operatorname{sh} a}{x-a};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{ch} x-\operatorname{ch} a}{x-a};
\qquad
\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\ln\cos x}
Ответ:а) ch⁡a\operatorname{ch} aб) sh⁡a\operatorname{sh} aв) −1-1

Решение

Пункты а) и б). Положим h=x−ah=x-a, тогда h→0h\to0. Раскроем гиперболические функции через экспоненты:
sh⁡(a+h)−sh⁡a=ea(eh−1)−e−a(e−h−1)2,\operatorname{sh}(a+h)-\operatorname{sh}a
=\frac{e^a(e^h-1)-e^{-a}(e^{-h}-1)}2,ch⁡(a+h)−ch⁡a=ea(eh−1)+e−a(e−h−1)2.\operatorname{ch}(a+h)-\operatorname{ch}a
=\frac{e^a(e^h-1)+e^{-a}(e^{-h}-1)}2.По №541 (eh−1)/h→1(e^h-1)/h\to1, а (e−h−1)/h→−1(e^{-h}-1)/h\to-1. Деление равенств на hh даёт соответственноа) ea+e−a2=ch⁡a,б) ea−e−a2=sh⁡a.\text{а) }\frac{e^a+e^{-a}}2=\operatorname{ch}a,
\qquad
\text{б) }\frac{e^a-e^{-a}}2=\operatorname{sh}a.Пункт в). Для u=ch⁡x−1u=\operatorname{ch}x-1 по №529 и №576бln⁡ch⁡xx2=ln⁡(1+u)uch⁡x−1x2⟶1⋅12=12.\frac{\ln\operatorname{ch}x}{x^2}
=\frac{\ln(1+u)}u\frac{\operatorname{ch}x-1}{x^2}
\longrightarrow1\cdot\frac12=\frac12.По №526 имеем ln⁡cos⁡x/x2→−1/2\ln\cos x/x^2\to-1/2. Около нуля косинус положителен, так что логарифм определён. Деление двух нормированных дробей приводит кв) 1/2−1/2=−1.\text{в) }\frac{1/2}{-1/2}=-1.
Демидович № 578 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика