Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 619

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 619

Построить график функцииy=lim⁡n→∞xn+222n+x2n,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}},
\qquad x\geqslant0

Построение

Идея

При 0⩽x<20\leqslant x<2 вынесем 22n2^{2n} из-под корня:xn+222n+x2n=x2(x2)n1+(x2)2n→0\frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}}
=\frac{x^2\left(\dfrac{x}{2}\right)^n}
{\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2n}}}
\to0При x>2x>2 выносим уже x2nx^{2n}:xn+222n+x2n=x2(2x)2n+1→x2\frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}}
=\frac{x^2}{\sqrt{\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2n}+1}}
\to x^2В точке x=2x=2 значение вычисляется отдельно:2n+222n+22n=42=22\frac{2^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+2^{2n}}}
=\frac{4}{\sqrt2}
=2\sqrt2Следовательно,y={0,0⩽x<2,22,x=2,x2,x>2y=
\begin{cases}
0, & 0\leqslant x<2,\\
2\sqrt2, & x=2,\\
x^2, & x>2
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    В точке x=2x=2 имеются выколотые предельные точки
    (2,0)(2,0) и (2,4)(2,4), а действительное значение равно 222\sqrt2.график к задаче Демидовича № 619