Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 583

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 583

Найти пределlim⁡x→2arctg⁡x−4(x−2)2\lim_{x\to2}\operatorname{arctg}\frac{x-4}{(x-2)^2}
Ответ:−π2-\frac\pi2

Решение

Идея

При x→2x\to2 числитель стремится к −2-2, а знаменатель — к нулю,
оставаясь положительным. Поэтому
x−4(x−2)2⟶−∞\frac{x-4}{(x-2)^2}\longrightarrow-\inftyТак как arctg⁡t→−π2\operatorname{arctg} t\to-\frac\pi2 при t→−∞t\to-\infty, получаем
искомый предел.