Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 583

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 583

Найти пределlim⁡x→2arctg⁡x−4(x−2)2\lim_{x\to2}\operatorname{arctg}\frac{x-4}{(x-2)^2}
Ответ:−π2-\frac\pi2

Решение

При x→2x\to2 числитель x−4x-4 стремится к −2-2, а знаменатель (x−2)2(x-2)^2 положителен и стремится к нулю. Поэтому u=(x−4)/(x−2)2→−∞u=(x-4)/(x-2)^2\to-\infty.
Арктангенс принимает значения в (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2). Для любого 0<ε<π/20<\varepsilon<\pi/2 число tan⁡(−π/2+ε)=−cot⁡ε\tan(-\pi/2+\varepsilon)=-\cot\varepsilon конечно. При достаточно малом ненулевом ∣x−2∣|x-2| имеем u<−cot⁡εu<-\cot\varepsilon. По возрастанию тангенса на его главной ветви−π/2<arctan⁡u<−π/2+ε.-\pi/2<\arctan u<-\pi/2+\varepsilon.Следовательно, −π/2-\pi/2 — искомый предел.