Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 605

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)

Ответ:

1

Решение

Положим

\delta_n=\sqrt{n^2+n}-n

. Тогда

\begin{aligned} \delta_n &=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}\longrightarrow\frac12, \\ \sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right) &=\sin^2(\pi n+\pi\delta_n) =\sin^2(\pi\delta_n)\longrightarrow1 \end{aligned}