Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 605

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 605

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡2(πn2+n)\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)
Ответ:11

Решение

Положим δn=n2+n−n\delta_n=\sqrt{n^2+n}-n. Тогдаδn=nn2+n+n⟶12,sin⁡2(πn2+n)=sin⁡2(πn+πδn)=sin⁡2(πδn)⟶1\begin{aligned}
\delta_n
&=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\longrightarrow\frac12,
\\
\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)
&=\sin^2(\pi n+\pi\delta_n)
=\sin^2(\pi\delta_n)\longrightarrow1
\end{aligned}