Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 622

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 622

Построить график функцииy=lim⁡n→∞(x−1)arctg⁡xny=\lim_{n\to\infty}(x-1)\operatorname{arctg}x^n

Построение

Идея

При ∣x∣<1|x|<1 имеем xn→0x^n\to0, поэтому(x−1)arctg⁡xn→0(x-1)\operatorname{arctg}x^n\to0При x=1x=1 множитель x−1x-1 равен нулю. Если x>1x>1, то xn→+∞x^n\to+\infty
и(x−1)arctg⁡xn→π2(x−1)(x-1)\operatorname{arctg}x^n
\to\frac\pi2(x-1)Остаётся область x⩽−1x\leqslant-1. При x=−1x=-1 значения арктангенса
чередуются между π/4\pi/4 и −π/4-\pi/4, поэтому предела нет. При x<−1x<-1
чётные степени стремятся к +∞+\infty, а нечётные к −∞-\infty. Тогда
соответствующие подпоследовательности исходного выражения имеют пределыπ2(x−1)и−π2(x−1)\frac\pi2(x-1)
\qquad\text{и}\qquad
-\frac\pi2(x-1)Они различны, поэтому общего предела нет. Итак, область определения
предельной функции равна (−1,+∞)(-1,+\infty), а сама функция имеет видy={0,−1<x⩽1,π2(x−1),x>1y=
\begin{cases}
0, & -1<x\leqslant1,\\
\dfrac\pi2(x-1), & x>1
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    В точке (−1,0)(-1,0) стоит выколотая точка. В точке
    (1,0)(1,0) горизонтальный участок непрерывно соединяется с лучом.график к задаче Демидовича № 622
Демидович № 622 — решение