Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 616

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 616

Построить график функцииy=lim⁡n→∞x2+1n2y=\lim_{n\to\infty}\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}

Построение

Для каждого действительного xx имеем∣x∣⩽x2+1/n2⩽∣x∣+1/n.|x|\leqslant\sqrt{x^2+1/n^2}\leqslant|x|+1/n.Второе неравенство проверяется возведением неотрицательных частей в квадрат: (∣x∣+1/n)2=x2+2∣x∣/n+1/n2⩾x2+1/n2(|x|+1/n)^2=x^2+2|x|/n+1/n^2\geqslant x^2+1/n^2. Обе границы стремятся к ∣x∣|x|, поэтому y=∣x∣y=|x|.

Построение графика

График состоит из двух лучей y=−xy=-x при x⩽0x\leqslant0
и y=xy=x при x⩾0x\geqslant0.график к задаче Демидовича № 616
Демидович № 616 — решение | Высшая математика — Профиматика