Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 623

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 623

Построить график функцииy=lim⁡n→∞1+en(x+1)ny=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+e^{n(x+1)}}

Опирается на задачу 617

Построение

Идея

Положим a=ex+1>0a=e^{x+1}>0. Тогда рассматриваемое выражение равно1+ann\sqrt[n]{1+a^n}Как и в задаче 617, его предел равен max⁡(1,a)\max(1,a). Неравенство
ex+1⩽1e^{x+1}\leqslant1 равносильно x⩽−1x\leqslant-1. Поэтомуy={1,x⩽−1,ex+1,x>−1y=
\begin{cases}
1, & x\leqslant-1,\\
e^{x+1}, & x>-1
\end{cases}
  1. 1

    Построение графика

    Горизонтальный луч y=1y=1 непрерывно соединяется с
    экспонентой в точке (−1,1)(-1,1).график к задаче Демидовича № 623
Демидович № 623 — решение