Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 586

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0} \frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}} {\operatorname{arctg}(1+x)-\operatorname{arctg}(1-x)}

Ответ:

2

Решение

При достаточно малых

|x|

имеем

2-x^2>0

, поэтому формула
разности арктангенсов применяется без добавки

\pm\pi

и даёт

\operatorname{arctg}(1+x)-\operatorname{arctg}(1-x) =\operatorname{arctg}\frac{2x}{1+(1+x)(1-x)} =\operatorname{arctg}\frac{2x}{2-x^2}

Обозначим

u=\frac{2x}{2-x^2}

. Первый из следующих пределов получается из №529:

\frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}{2x}=\frac12\left(\frac{\ln(1+x)}x+\frac{\ln(1-x)}{-x}\right)\longrightarrow\frac{1+1}2=1.

Второй установлен в №585. Используя эти пределы

\lim_{x\to0}\frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}{2x}=1, \qquad \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1

получаем

\begin{aligned} \frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}{\operatorname{arctg} u} &=\frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}{2x} \cdot\frac{u}{\operatorname{arctg} u} \cdot\underbrace{\frac{2x}{u}}_{2-x^2}\longrightarrow1\cdot1\cdot2=2 \end{aligned}