Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 626

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Асимптотой (наклонной) для кривой

y=f(x)

называется прямая

y=kx+b

, для которой

\lim_{x\to\infty}[f(x)-(kx+b)]=0

Используя это утверждение, вывести необходимые и достаточные условия
существования асимптоты

Ответ:Наклонная асимптота в выбранном направлении существует тогда
и только тогда, когда существуют два конечных предела

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x, \qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]

В этом случае её уравнение имеет вид

y=kx+b

Решение

Идея

Рассмотрим одно из двух направлений:

x\to+\infty

или

x\to-\infty

. Пусть прямая

y=kx+b

является асимптотой. Тогда

f(x)=kx+b+o(1)

После деления на

x

получаем

\frac{f(x)}x=k+\frac bx+\frac{o(1)}x\longrightarrow k

Следовательно, угловой коэффициент обязательно равен

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x

После нахождения

k

из определения асимптоты также необходимо

b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]

Оба предела должны быть конечными

Обратно, пусть эти два конечных предела существуют. Тогда по определению
числа

b

\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(kx+b)] =\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]-b=0

Значит, прямая

y=kx+b

действительно является асимптотой