Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 597

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 597

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞ln⁡(1+ex)x;б) lim⁡x→+∞ln⁡(1+ex)x\text{а) }\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln(1+e^x)}x;
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}x
Ответ:а) 00б) 11

Решение

Пункт а)

Так как 0<ln⁡(1+u)<u0<\ln(1+u)<u при u>0u>0, то для x<0x<0∣ln⁡(1+ex)x∣<ex∣x∣⟶0\left|\frac{\ln(1+e^x)}x\right|
<\frac{e^x}{|x|}\longrightarrow0

Пункт б)

Выносим exe^x из-под логарифма:ln⁡(1+ex)x=x+ln⁡(1+e−x)x=1+ln⁡(1+e−x)x⟶1\frac{\ln(1+e^x)}x
=\frac{x+\ln(1+e^{-x})}{x}
=1+\frac{\ln(1+e^{-x})}{x}\longrightarrow1
Демидович № 597 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика