Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 85

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

x_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}.

Указание. Воспользоваться неравенством

\frac1{n^2}<\frac1{n-1}-\frac1n\qquad(n=2,3,\ldots).

Доказательство

Проверка указанной оценки. Для

k\ge2

имеем

\frac1{k^2}<\frac1{k-1}-\frac1k.

Действительно,

\frac1{k-1}-\frac1k=\frac1{k(k-1)}>\frac1{k^2}.

Проверка критерия Коши. Пусть

m>n\ge1

. Тогда

\begin{aligned}|x_m-x_n|&=\frac1{(n+1)^2}+\frac1{(n+2)^2}+\cdots+\frac1{m^2}\\&<\sum_{k=n+1}^{m}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)\\&=\frac1n-\frac1m<\frac1n.\end{aligned}

Для любого

\varepsilon>0

достаточно выбрать

N>\frac1\varepsilon

. Тогда при

m>n\ge N

получим

|x_m-x_n|<\varepsilon.

По критерию Коши последовательность сходится.

Что и требовалось доказать