Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 85

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 85

xn=1+122+132+⋯+1n2.x_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}.Указание. Воспользоваться неравенством1n2<1n−1−1n(n=2,3,…).\frac1{n^2}<\frac1{n-1}-\frac1n\qquad(n=2,3,\ldots).

Доказательство

Идея

В разности двух частичных сумм остаётся хвост из положительных дробей 1k2\frac1{k^2}. Подсказка предлагает сравнить каждую такую дробь с разностью 1k−1−1k\frac1{k-1}-\frac1k: при суммировании соседние части этих разностей сократятся. В результате весь хвост удастся оценить одной дробью и непосредственно проверить критерий Коши.
Проверка указанной оценки. Для k≥2k\ge2 имеем1k2<1k−1−1k.\frac1{k^2}<\frac1{k-1}-\frac1k.Действительно,1k−1−1k=1k(k−1)>1k2.\frac1{k-1}-\frac1k=\frac1{k(k-1)}>\frac1{k^2}.Проверка критерия Коши. Пусть m>n≥1m>n\ge1. Тогда∣xm−xn∣=1(n+1)2+1(n+2)2+⋯+1m2<∑k=n+1m(1k−1−1k)=(см задачу 56) 1n−1m<1n.\begin{aligned}
|x_m-x_n|
&=\frac1{(n+1)^2}+\frac1{(n+2)^2}+\cdots+\frac1{m^2}\\
&<\sum_{k=n+1}^{m}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)\\
&= \text{(см задачу 56) } \frac1n-\frac1m
<\frac1n.
\end{aligned}Для любого ε>0\varepsilon>0 достаточно выбрать N>1εN>\frac1\varepsilon. Тогда при m>n≥Nm>n\ge N получим∣xm−xn∣<ε.|x_m-x_n|<\varepsilon.По критерию Коши последовательность сходится.

Указанное в условии неравенство сначала проверено алгебраически, а затем применено ко всему конечному хвосту. Полученная граница 1n\frac1n едина для любого m>nm>n, поэтому после выбора NN она контролирует все пары индексов из соответствующего хвоста последовательности.

Проверка

Последовательностьxn=1+122+132+⋯+1n2x_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 85 — решение