Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 65

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 65

lim⁡n→∞nn=1.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Доказательство

Пусть un=nn−1≥0u_n=\sqrt[n]{n}-1\ge0. При n≥2n\ge2 бином Ньютона даёт
n=(1+un)n≥(n2)un2=n(n−1)2un2.n=(1+u_n)^n
\ge\binom n2u_n^2
=\frac{n(n-1)}2u_n^2.Значит,0≤un≤2n−1⟶0.0\le u_n\le\sqrt{\frac2{n-1}}\longrightarrow0.Следовательно, nn=1+un→1\sqrt[n]{n}=1+u_n\to1.

Что и требовалось доказать