Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 65

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 65

lim⁡n→∞nn=1.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Доказательство

Идея

Обозначим an=nn−1a_n = \sqrt[n]{n} - 1. Поскольку n≥1n \ge 1, имеем an≥0a_n \ge 0.
Отсюда an+1=nna_n + 1 = \sqrt[n]{n} и (1+an)n=n(1+a_n)^n = n.
При n≥2n \ge 2 применим формулу бинома Ньютона. Так как an≥0a_n \ge 0, все слагаемые в разложении неотрицательны, и мы можем оценить сумму снизу, оставив только третье слагаемое:n=(1+an)n=1+nan+n(n−1)2an2+⋯≥n(n−1)2an2n = (1+a_n)^n = 1 + n a_n + \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 + \dots \ge \frac{n(n-1)}{2}a_n^2Разделим обе части на n>0n > 0:1≥n−12an2  ⟹  an2≤2n−11 \ge \frac{n-1}{2}a_n^2 \implies a_n^2 \le \frac{2}{n-1}Учитывая, что an≥0a_n \ge 0, извлекаем корень и получаем оценку:0≤an≤2n−10 \le a_n \le \sqrt{\frac{2}{n-1}}Так как lim⁡n→∞2n−1=0\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2}{n-1}} = 0, по теореме о зажатой последовательности получаем lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0.lim⁡n→∞nn=1.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Проверка

Следовательно:lim⁡n→∞nn=lim⁡n→∞(an+1)=0+1=1\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n\to\infty} (a_n + 1) = 0 + 1 = 1

Что и требовалось доказать

Демидович № 65 — решение