Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 55

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что

n

пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 55

\lim_{n\to\infty}\left(\frac12+\frac3{2^2}+\frac5{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}\right).

Решение

Идея

Если присмотреться к общему члену, мы увидим, что числители образуют арифметическую прогрессию (

1, 3, 5, \dots

), а знаменатели - геометрическую (

2, 2^2, 2^3, \dots

1
Суммировать такие ряды напрямую тяжело, но для них существует один стандартный трюк.
2
Обозначим сумму первых $n$ членов через $S_n$ : $S_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \cdots + \frac{2n-1}{2^n}$
3
Умножим обе части этого равенства на $\frac{1}{2}$ (это знаменатель нашей геометрической части). Каждое слагаемое сдвинется на одну степень двойки вниз: $\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{5}{2^4} + \cdots + \frac{2n-3}{2^n} + \frac{2n-1}{2^{n+1}}$ А теперь вычткм из первой строчки вторую ( $S_n - \frac{1}{2}S_n$ ). Главная здесь - вычитать дроби с одинаковыми знаменателями друг из друга:

• Первое слагаемое $\frac{1}{2}$ остается без пары.

• Из $\frac{3}{2^2}$ вычитаем $\frac{1}{2^2}$ , получаем $\frac{2}{2^2}$ .

• Из $\frac{5}{2^3}$ вычитаем $\frac{3}{2^3}$ , получаем $\frac{2}{2^3}$ .

• И так далее вплоть до $\frac{2n-1}{2^n} - \frac{2n-3}{2^n} = \frac{2}{2^n}$ .

• От второй суммы останется последний хвост со знаком минус: $-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$ .

Запишем, что получилось: $\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} + \left( \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \cdots + \frac{2}{2^n} \right) - \frac{2n-1}{2^{n+1}}$ Обратим внимание на выражение в скобках. Если мы сократим двойки в числителях, то увидим геометрическую прогрессию: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}$ По формуле геометрической прогрессии: $\frac{\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$ Возвращаем этот результат в наше уравнение: $\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{2n-1}{2^{n+1}}$ Приведем подобные слагаемые для красоты. Заметим, что $\frac{1}{2^{n-1}}$ - это то же самое, что $\frac{4}{2^{n+1}}$ . $\frac{1}{2}S_n = \frac{3}{2} - \frac{4}{2^{n+1}} - \frac{2n-1}{2^{n+1}} = \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{2^{n+1}}$
4
Осталось умножить всё уравнение на $2$ , чтобы получить чистый $S_n$ : $S_n = 3 - \frac{2n+3}{2^n}$ Формула для суммы готова, теперь ищем её предел при $n \to \infty$ : $\lim_{n\to\infty} \left( 3 - \frac{2n+3}{2^n} \right)$ Тройка остается тройкой, так что вся суть - разобраться с дробью $\frac{2n+3}{2^n}$ . Разобьем её на две части, почленно поделив числитель на $2^n$ : $\frac{2n+3}{2^n} = \frac{2n}{2^n} + \frac{3}{2^n} = 2 \cdot \frac{n}{2^n} + \frac{3}{2^n}$ Со вторым слагаемым $\frac{3}{2^n}$ всё очевидно: числитель постоянный, а знаменатель неограниченно растет, значит, эта дробь уходит в ноль.

Главное тут - оценить первое слагаемое, а именно $\frac{n}{2^n}$ . Почему оно стремится к нулю? Интуитивно понятно, что показательная функция $2^n$ растет быстрее, чем линейная $n$ . Чтобы доказать это строго и красиво, можно разложить $2^n$ по биному Ньютона: $2^n = (1+1)^n = 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \dots$ Оставим только одно квадратичное слагаемое, чтобы получить оценку снизу: $2^n > \frac{n(n-1)}{2}$ .

Тогда нашу дробь можно ограничить сверху: $0 < \frac{n}{2^n} < \frac{2n}{n(n-1)} = \frac{2}{n-1}$ При $n \to \infty$ выражение $\frac{2}{n-1}$ очевидно стремится к нулю. По теореме о зажатой последовательности наша дробь $\frac{n}{2^n}$ тоже уходит в ноль.

Проверка

В итоге обе части дроби

\frac{2n+3}{2^n}

обнуляются. От всего предела остается только тройка.

3.