Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 55

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 55

lim⁡n→∞(12+322+523+⋯+2n−12n).\lim_{n\to\infty}\left(\frac12+\frac3{2^2}+\frac5{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}\right).

Решение

Обозначим данную конечную сумму черезSn=∑k=1n2k−12k.S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2^k}.Сдвинем её слагаемые умножением на 12\frac12 и вычтем:Sn2=12+∑k=2n22k−2n−12n+1.\frac{S_n}{2}
=\frac12+\sum_{k=2}^{n}\frac2{2^k}
-\frac{2n-1}{2^{n+1}}.Средняя сумма является конечной геометрической прогрессией:∑k=2n22k=1−12n−1,\sum_{k=2}^{n}\frac2{2^k}=1-\frac1{2^{n-1}},причём при n=1n=1 обе части равны нулю. Таким образом,Sn=3−2n+32n.S_n=3-\frac{2n+3}{2^n}.При n≥2n\ge2 в биноме Ньютона 2n=(1+1)n≥(n2)2^n=(1+1)^n\ge\binom n2.
Следовательно, 0<n2n≤2n−1→00<\frac n{2^n}\le\frac2{n-1}\to0; также
2−n→02^{-n}\to0 по №42, г. Поэтому искомый предел равен 33.