Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 64

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 64

lim⁡n→∞log⁡ann=0(a>1).\lim_{n\to\infty}\frac{\log_a n}{n}=0\qquad(a>1).

Опирается на

Доказательство

Пусть m=⌊log⁡an⌋m=\lfloor\log_a n\rfloor. Так как a>1a>1, имеем
am≤n<am+1,m≤log⁡an<m+1.a^m\le n<a^{m+1},
\qquad
m\le\log_a n<m+1.Следовательно, при достаточно больших nn0≤log⁡ann<m+1am.0\le\frac{\log_a n}{n}<\frac{m+1}{a^m}.Вместе с nn целое число mm стремится к бесконечности. По №60 при k=1k=1 имеем mam→0\frac{m}{a^m}\to0; также
0≤1am≤mam0\le\frac1{a^m}\le\frac{m}{a^m} для m≥1m\ge1. Значит, правая часть оценки стремится к нулю иlim⁡n→∞log⁡ann=0.\lim_{n\to\infty}\frac{\log_a n}{n}=0.

Что и требовалось доказать