Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 80

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 80

xn=(1+12)(1+14)⋯(1+12n).x_n=\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac14\right)\cdots
\left(1+\frac1{2^n}\right).

Опирается на задачу 75

Доказательство

Идея

Здесь каждый новый множитель больше единицы, поэтому произведения
возрастают. Для сходимости не хватает единой верхней границы. Неравенство
1+t<et1+t<e^t из задачи 75 позволяет заменить каждый множитель экспонентой, а
произведение экспонент — одной экспонентой с геометрической суммой в
показателе.
Имеемxn=∏k=1n(1+12k).x_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1{2^k}\right).Каждый множитель больше единицы, поэтому xn+1>xnx_{n+1}>x_n.

По задаче 75 при t=2−k>0t=2^{-k}>01+12k<e12k.1+\frac1{2^k}<e^{\frac1{2^k}}.Перемножая оценки,xn<e∑k=1n2−k=e1−2−n<e.x_n<e^{\sum_{k=1}^n2^{-k}}
=e^{1-2^{-n}}<e.Значит, xnx_n монотонно возрастает и ограничена сверху числом ee. Следовательно, она сходится.

Оценка через экспоненту строит единую верхнюю границу ee, не зависящую от nn. Вместе со строгим возрастанием это полностью проверяет условия теоремы о монотонной ограниченной последовательности.

Проверка

Последовательность∏k=1n(1+2−k)\prod_{k=1}^n\left(1+2^{-k}\right)сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 80 — решение