Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 73

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 73

Доказать, что число ee иррационально.

Опирается на задачу 72

Доказательство

Идея

Формула задачи 72 особенно удобна для доказательства от противного:
если представить ee рациональной дробью и умножить на подходящий факториал,
её знаменатель исчезнет. В то же время остаток ряда после такого умножения
останется строго между 00 и 11. Сопоставим эти два вывода и получим
противоречие.
Предположим противное: пустьe=pq,e=\frac pq,где pp и qq — натуральные числа. Возьмём n≥max⁡{q,2}n\ge\max\{q,2\}. Тогда числоn!e=n!pqn!e=n!\frac pqявляется целым, потому что qq делит n!n!.

С другой стороны,e=∑k=0n1k!+Rn,0<Rn<1n! n.e=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}+R_n,
\qquad
0<R_n<\frac1{n!\,n}.Умножим на n!n!:n!e=∑k=0nn!k!+n!Rn.n!e=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}+n!R_n.ОбозначимIn=∑k=0nn!k!∈Z.I_n=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}\in\mathbb Z.Кроме того,0<n!Rn<1n<1.0<n!R_n<\frac1n<1.Тогдаn!e=In+n!Rn,0<n!Rn<1.n!e=I_n+n!R_n,
\qquad
0<n!R_n<1.Итак, предполагаемое целое число n!en!e представлено как сумма целого числа
InI_n и положительного числа, строго меньшего 11. Такая сумма не является
целым числом. Получено противоречие.

Значит, предположение о рациональности ee неверно.

Противоречие использует одновременно целочисленность n!en!e при предполагаемой рациональности и строгую оценку остатка между 00 и 11. Обе границы строгие, поэтому дробная часть действительно ненулевая.

Проверка

Число ee иррационально.

Что и требовалось доказать

Демидович № 73 — решение