Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 73

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 73

Доказать, что число ee иррационально.

Опирается на

Доказательство

Предположим, что e=pqe=\frac pq при натуральных p,qp,q. Выберем n≥max⁡{q,2}n\ge\max\{q,2\}. По №72
e=Sn+Rn,Sn=∑k=0n1k!,0<Rn<1n! n.e=S_n+R_n,\qquad
S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!},\qquad
0<R_n<\frac1{n!\,n}.Число n!e=n!pqn!e=\frac{n!p}{q} целое, поскольку qq делит n!n!. Такжеn!Sn=∑k=0nn!k!n!S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}— целое число. Но0<n!Rn<1n<1.0<n!R_n<\frac1n<1.Из равенства n!e=n!Sn+n!Rnn!e=n!S_n+n!R_n следует, что разность двух целых чисел строго между нулём и единицей. Это невозможно. Значит, ee иррационально.

Что и требовалось доказать