Демидович — задача 61

1. 1
   Пусть $a\ne0$ и$$b_n=\frac{|a|^n}{n!}>0.$$Тогда$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{|a|}{n+1}\longrightarrow0.$$Поэтому существует номер $N$ такой, что при $n\ge N$$$\frac{b_{n+1}}{b_n}\le\frac12.$$Последовательно применяя эту оценку, для $m\ge0$ получаем$$b_{N+m}\le b_N\left(\frac12\right)^m.$$Правая часть стремится к нулю, следовательно, $b_n\to0$. Так как$$\left|\frac{a^n}{n!}\right|=b_n,$$то по теореме о зажатой последовательности$$\frac{a^n}{n!}\longrightarrow0.$$
2. 2

   Случай $a=0$ отделён до вычисления отношения соседних членов

   при нулевом основании это отношение не определено, хотя сама исходная
   последовательность тождественно равна нулю. Для $a\ne0$ оценка проводится по
   модулю, поэтому знак $a$ на предел не влияет.
3. 3
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0.$$Альтернативное решение:
   
   Чтобы доказательство работало для любых $a$ - рассмотрим последовательность из модулей: $x_n = \frac{|a|^n}{n!}$. Если $a=0$, предел очевидно равен нулю. Пусть $a \neq 0$.
4. 4
   Найдем предел отношения соседних членов:$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{|a|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{|a|^n} \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{|a|}{n+1} = 0$$
5. 5
   Так как предел отношения меньше единицы, начиная с некоторого номера $N$ само отношение становится строго меньше $1$. Это значит, что для $n \ge N$ выполняется $x_{n+1} < x_n$, то есть последовательность монотонно убывает.
   
   С другой стороны, $x_n > 0$, поэтому она ограничена снизу. По теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел:$$\lim_{n\to\infty} x_n = L$$Перейдем к пределу в равенстве $x_{n+1} = \frac{|a|}{n+1} x_n$:$$L = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{|a|}{n+1} \cdot \lim_{n\to\infty} x_n = 0 \cdot L = 0$$

Что и требовалось доказать