Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 61

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 61

lim⁡n→∞ann!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0.

Доказательство

При a=0a=0 каждый член последовательности равен нулю. Пусть a≠0a\ne0 и bn=∣a∣nn!>0b_n=\frac{|a|^n}{n!}>0. Тогда
bn+1bn=∣a∣n+1⟶0.\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{|a|}{n+1}\longrightarrow0.Выберем NN так, чтобы при n≥Nn\ge N это отношение было не больше 12\frac12. Для каждого m≥0m\ge00<bN+m≤bN(12)m⟶0.0<b_{N+m}\le b_N\left(\frac12\right)^m\longrightarrow0.Следовательно, bn→0b_n\to0. Поскольку ∣ann!∣=bn\left|\frac{a^n}{n!}\right|=b_n, искомый предел равен нулю и для отрицательного aa.

Что и требовалось доказать