Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 42

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 42

Доказать, что xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) есть бесконечно малая (т. е. имеет предел, равный 00), указав для всякого ε>0\varepsilon>0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon) такое, что ∣xn∣<ε|x_n|<\varepsilon при n>Nn>N, если:а) xn=(−1)n+1n;б) xn=2nn3+1;\text{а) }x_n=\frac{(-1)^{n+1}}n;
\quad
\text{б) }x_n=\frac{2n}{n^3+1};в) xn=1n!;г) xn=(−1)n 0,999n.\text{в) }x_n=\frac1{n!};
\quad
\text{г) }x_n=(-1)^n\,0{,}999^n.Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:ε0,10,0010,0001…N\begin{array}{c|cccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
N&&&&
\end{array}

Доказательство

а)

Здесь ∣xn∣=1n|x_n|=\frac1n. При n>Na(ε)n>N_a(\varepsilon), гдеNa(ε)=max⁡{1,⌊1ε⌋},N_a(\varepsilon)=\max\left\{1,\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor\right\},получаем 1n<ε\frac1n<\varepsilon. Для 0,10{,}1, 0,0010{,}001, 0,00010{,}0001 подходят соответственно Na=10, 1000, 10000N_a=10,\ 1000,\ 10000.

б)

При n≥1n\ge1∣xn∣=2nn3+1<2n2.|x_n|=\frac{2n}{n^3+1}<\frac2{n^2}.Достаточно потребовать n>2εn>\sqrt{\frac2\varepsilon}. Поэтому подходитNb(ε)=max⁡{1,⌊2ε⌋};N_b(\varepsilon)=\max\left\{1,\left\lfloor\sqrt{\frac2\varepsilon}\right\rfloor\right\};для трёх значений из таблицы получаем Nb=4, 44, 141N_b=4,\ 44,\ 141.

в)

Так как n!≥nn!\ge n, имеем0<1n!≤1n.0<\frac1{n!}\le\frac1n.Следовательно, подходит номер Nc(ε)=Na(ε)N_c(\varepsilon)=N_a(\varepsilon). Для таблицы можно выбрать меньшие номера. Учитывая 3!=63!=6, 4!=244!=24, 6!=7206!=720, 7!=50407!=5040, 8!=403208!=40320, получаем Nc=3, 6, 7N_c=3,\ 6,\ 7 соответственно: при всех n>Ncn>N_c нужное строгое неравенство выполнено.

г)

Положим q=0,999q=0{,}999. Тогда 0<q<10<q<1 и ∣xn∣=qn|x_n|=q^n. Если ε<1\varepsilon<1, логарифмирование даёт равносильное условиеqn<ε⟺n>ln⁡εln⁡q;q^n<\varepsilon
\quad\Longleftrightarrow\quad
n>\frac{\ln\varepsilon}{\ln q};знак меняется, поскольку ln⁡q<0\ln q<0. При ε≥1\varepsilon\ge1 годится любой n≥1n\ge1. Одну формулу для всех ε>0\varepsilon>0 даётNg(ε)=max⁡{1,⌊ln⁡εln⁡(0,999)⌋}.N_g(\varepsilon)=\max\left\{1,
\left\lfloor\frac{\ln\varepsilon}{\ln(0{,}999)}\right\rfloor\right\}.Три требуемых номера: 2301, 6904, 92052301,\ 6904,\ 9205. В каждом пункте найден номер, после которого ∣xn∣<ε|x_n|<\varepsilon, значит, все четыре последовательности стремятся к нулю.

Что и требовалось доказать